Resolução
Para que \(f(x)\) seja uma função de probabilidade válida associada à variável aleatória \(X\), é necessário que a soma das probabilidades seja igual a 1: \[ \sum_{x=-3}^{3} f(x) = 1. \]
Substituindo \(f(x)\) na soma: \[ \sum_{x=-3}^{3} \frac{3 - |x|}{k} = 1. \]
Como \(k\) é uma constante, podemos fatorar \(1/k\): \[ \frac{1}{k} \sum_{x=-3}^{3} (3 - |x|) = 1. \]
Agora, calculamos os valores de \(3 - |x|\) para cada \(x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\): \[ \begin{aligned} x = -3 &\implies 3 - |x| = 3 - 3 = 0, \\ x = -2 &\implies 3 - |x| = 3 - 2 = 1, \\ x = -1 &\implies 3 - |x| = 3 - 1 = 2, \\ x = 0 &\implies 3 - |x| = 3 - 0 = 3, \\ x = 1 &\implies 3 - |x| = 3 - 1 = 2, \\ x = 2 &\implies 3 - |x| = 3 - 2 = 1, \\ x = 3 &\implies 3 - |x| = 3 - 3 = 0. \end{aligned} \]
Somando todos esses valores: \[ \sum_{x=-3}^{3} (3 - |x|) = 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 0 = 9. \]
Substituímos o resultado na equação inicial: \[ \frac{1}{k} \cdot 9 = 1. \]
Resolvendo para \(k\): \[ k = 9. \]
Portanto, o valor de \(k\) é: \[ \boxed{9}. \]
Resolução
Considere a variável aleatória \(Y = X^2 + 1\), onde \(X\) assume os valores \(x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\) com a função de probabilidade \[ f_X(x) = P(X = x) = \frac{3 - |x|}{9}. \]
Para determinar a distribuição de probabilidade de \(Y\), primeiro calculamos os possíveis valores de \(Y\): \[ Y = X^2 + 1 \implies y = x^2 + 1. \]
Os valores possíveis de \(x\) geram os seguintes valores de \(y\): \[ \begin{aligned} x = -3 &\implies y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10, \\ x = -2 &\implies y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5, \\ x = -1 &\implies y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2, \\ x = 0 &\implies y = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1, \\ x = 1 &\implies y = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2, \\ x = 2 &\implies y = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5, \\ x = 3 &\implies y = (3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10. \end{aligned} \]
Os valores distintos de \(y\) são \(y = 1, 2, 5, 10\). Agora calculamos \(P(Y = y)\) para cada valor de \(y\) somando as probabilidades associadas aos valores de \(x\) que levam a \(y\).
Assim, a distribuição de probabilidade de \(Y\) é dada por: \[ \begin{aligned} P(Y = 1) &= \frac{1}{3}, \\ P(Y = 2) &= \frac{4}{9}, \\ P(Y = 5) &= \frac{2}{9}, \\ P(Y = 10) &= 0. \end{aligned} \]
Portanto, a distribuição de probabilidade de \(Y\) pode ser apresentada na forma de tabela:
\[ \begin{array}{c|cccc|c} y &1 & 2 & 5 & 10 & \sum P(Y = y) \\ \hline P(Y = y) & \frac{1}{3} & \frac{4}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 1\\ \end{array} \]
Eventos com probabilidade zero não afetam o comportamento probabilístico da variável. Como a probabilidade associada a \(Y=10\) é zero, o valor \(10\) é irrelevante para os cálculos e a interpretação da distribuição de \(Y.\) Portanto, a distribuição de probabilidade de \(Y\) pode ser apresentada na forma de tabela:
\[ \begin{array}{c|ccc|c} y &1 & 2 & 5 & \sum P(Y = y) \\ \hline P(Y = y) & \frac{1}{3} & \frac{4}{9} & \frac{2}{9} & 1\\ \end{array} \]
Resolução
Queremos calcular \(P(Y \leq 2 \mid X > 0)\), onde \(Y = X^2 + 1\) e a variável aleatória \(X\) possui os valores \(x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\) com a função de probabilidade \[ f_X(x) = P(X = x) = \frac{3 - |x|}{9}. \]
Primeiramente, identificamos os valores possíveis de \(X\) quando \(X > 0\): \[ X > 0 \implies X \in \{1, 2, 3\}. \]
Agora, determinamos os valores de \(Y\) associados a \(X > 0\): \[ Y = X^2 + 1. \] \[ \begin{aligned} \text{Para } X = 1, &\quad Y = 1^2 + 1 = 2, \\ \text{Para } X = 2, &\quad Y = 2^2 + 1 = 5, \\ \text{Para } X = 3, &\quad Y = 3^2 + 1 = 10. \end{aligned} \]
Portanto, os valores possíveis de \(Y\) quando \(X > 0\) são \(Y = 2, 5, 10\).
Agora, calculamos \(P(Y \leq 2 \mid X > 0)\). Note que \(Y \leq 2\) ocorre apenas quando \(Y = 2\). Assim: \[ P(Y \leq 2 \mid X > 0) = \frac{P(Y = 2 \text{ e } X > 0)}{P(X > 0)}. \]
Para que \(Y = 2\), temos \(X = 1\) (pois \(Y = X^2 + 1 = 2\) implica \(X = 1\)). Como \(X = 1\) satisfaz \(X > 0\), temos: \[ P(Y = 2 \text{ e } X > 0) = P(X = 1). \] Substituindo a probabilidade: \[ P(X = 1) = \frac{3 - |1|}{9} = \frac{2}{9}. \]
\[ P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). \] Substituímos as probabilidades: \[ P(X = 1) = \frac{2}{9}, \quad P(X = 2) = \frac{1}{9}, \quad P(X = 3) = \frac{0}{9}. \] \[ P(X > 0) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{0}{9} = \frac{3}{9}. \]
Agora substituímos os valores: \[ P(Y \leq 2 \mid X > 0) = \frac{P(Y = 2 \text{ e } X > 0)}{P(X > 0)} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{3}{9}} = \frac{2}{3}. \]
Portanto, o resultado é: \[ P(Y \leq 2 \mid X > 0) = \frac{2}{3}. \]
Queremos calcular \(P(X > 0 \mid Y \leq 2)\), onde \(Y = X^2 + 1\) e a variável aleatória \(X\) possui os valores \(x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\) com a função de probabilidade \[ f_X(x) = P(X = x) = \frac{3 - |x|}{9}. \]
Pela definição de probabilidade condicional: \[ P(X > 0 \mid Y \leq 2) = \frac{P(X > 0 \text{ e } Y \leq 2)}{P(Y \leq 2)}. \]
Como \(Y = X^2 + 1\), temos: \[ Y \leq 2 \implies X^2 + 1 \leq 2 \implies X^2 \leq 1. \] Portanto: \[ X \in \{-1, 0, 1\}. \]
\[ P(Y \leq 2) = P(X = -1) + P(X = 0) + P(X = 1). \] Substituímos as probabilidades: \[ P(X = -1) = \frac{3 - |-1|}{9} = \frac{2}{9}, \quad P(X = 0) = \frac{3 - |0|}{9} = \frac{3}{9}, \quad P(X = 1) = \frac{3 - |1|}{9} = \frac{2}{9}. \] \[ P(Y \leq 2) = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}. \]
Para que \(X > 0\) e \(Y \leq 2\), é necessário que \(X > 0\) dentro do conjunto \(X \in \{-1, 0, 1\}\). Logo: \[ X > 0 \text{ e } Y \leq 2 \implies X = 1. \] Assim: \[ P(X > 0 \text{ e } Y \leq 2) = P(X = 1) = \frac{2}{9}. \]
Agora substituímos os valores na fórmula: \[ P(X > 0 \mid Y \leq 2) = \frac{P(X > 0 \text{ e } Y \leq 2)}{P(Y \leq 2)} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{2}{7}. \]
Portanto, o resultado é: \[ P(X > 0 \mid Y \leq 2) = \frac{2}{7}. \]