Excedente do Consumidor

Rafael Bressan

Motivação

Até agora vimos como derivar a função demanda a partir das preferências e da restrição orçamentária.
Desejamos agora estimar preferências ou utilidade a partir do comportamento de demanda observado.

Demanda de um bem discreto com utilidade quasi-linear: \(u(x,y)=v(x)+y\).
\(x\) é bem discreto com preço \(p\) e \(y\) é restante de renda para ser gasto em outros bens, \(p_y=1\).
Definimos preço de reserva como \(r_n=v(n)-v(n-1)\).
A relação entre preços de reserva e demanda é tal que:
- se \(n\) unidades do bem discreto forem demandadas, então \(r_n \geq p \geq r_{n+1}\).
A lista dos preços de reserva contém toda a informação necessária para descrever o comportamento da demanda.

Ao somarmos \(n\) preços de reserva, obtemos \(v(n)-v(0)\), onde normalizamos \(v(0)=0\).
Portanto a soma de \(n\) preços de reserva é igual ao excedente bruto do consumidor, associado ao consumo do bem \(x\).
A utilidade de consumir os dois bens seria \(v(n)+m-pn\), sendo que o excedente líquido do consumidor é \(v(n)-pn\).
Ou seja, o excedente do consumidor é a área sob a curva de demanda até o nível do preço de mercado.

Há outras formas de pensar no excedente do consumidor
Valor que o consumidor dá a primeira unidade de consumo desse bem será \(r_1\), mas ele só tem de pagar \(p\) por ela.
“Excedente” de \(r_1-p\) na primeira unidade. Na segunda unidade o excedente é \(r_2-p\) e assim por diante.
O excedente total é a soma dos excedentes de cada unidade consumida.
Podemos interpretar o excedente do consumidor de outra forma.
Quanto dinheiro, \(R\), seria necessário para compensar o consumidor por não poder consumir o bem?
\(v(0)+m+R=v(n)+m-pn\), ou seja, \(R=v(n)-pn\).
Assim, o excedente do consumidor mede quanto se teria de pagar a um consumidor para que ele abrisse mão de todo o seu consumo de determinado bem.

Em geral, o preço pelo qual o consumidor está disposto a comprar determinada quantidade do bem \(x\) dependerá de quanto dinheiro ele dispuser para consumir outros bens.
No caso especial da utilidade quasi-linear, os preços de reserva são independentes da renda disponível para consumo de outros bens.
Dizemos que com utilidade quasi-linear, não há efeito renda sobre a demanda do bem \(x\).

Ausência de efeito renda

Faremos a prova para um utilidade quasi-linear com dois bens, \(x\) e \(y\) contínuos.

\[\begin{align} \max_{x,y}&=v(x)+y\\ \text{s.a.}&\quad px+y=m \end{align}\]

A CPO é: \(v'(x)=p\), que implica em uma função demanda \(x^*=x(p)\).

Veja como a função demanda independe da quantidade de renda \(m\) disponível. \(\blacksquare\)

Mesmo se a utilidade não for quase linear, o excedente do consumidor pode ainda ser uma medida razoável do bem-estar do consumidor.
No entanto, em algumas aplicações pode ser conveniente usar medidas monetárias da utilidade.
Por exemplo, quanto de dinheiro teríamos de dar ao consumidor para que ele ficasse tão bem quanto antes de um aumento de preço?
- Esta quantidade de dinheiro é uma medida em unidades monetárias de uma variação de utilidade

Preços iniciais \((p_1^*, 1)\) e cesta inicial \((x_1^*, x_2^*)\).
Aumento de preço do bem 1 para \(\hat p_1\) e o consumo passa a ser \((\hat x_1, \hat x_2)\).
A variação de renda necessária para levar o consumidor à sua curva de indiferença original é chamada variação compensadora da renda.
Variação equivalente é o quanto de dinheiro retirarado do consumidor antes da variação de preço para deixá-lo tão bem quanto estaria depois da variação de preço.
Em geral, a quantidade de dinheiro que o consumidor estaria disposto a pagar para evitar uma variação de preço (VE) será diferente da quantidade de dinheiro que o consumidor teria de receber para ser compensado por uma variação de preço (VC).

Variação compensadora
- Quanto devemos compensar em termos de renda para que o consumidor fique exatamente tão bem quanto antes do aumento no preço.
- Aumento na renda necessário para obter uma cesta ótima na curva de indiferença original, com a relação de preços após a mudança no preço.
Variação equivalente
- Quanto dinheiro teríamos que tirar do consumidor antes da variação no preço pra deixá-lo tão bem quanto estaria após o aumento no preço.
- Redução na renda necessária para obter uma cesta ótima na nova curva de indiferença com a relação de preços anterior à mudança no preço do bem.

Seja a função utilidade do tipo Cobb-Douglas \(u(x_1,x_2)=x_1^{0,5}x_2^{0,5}\), com preços \(p_1=1\) e \(p_2=1\) e renda \(m=100\).

Demandas são \(x_1^*=\frac{m}{2p_1}\) e \(x_2^*=\frac{m}{2p_2}\).
Cesta ótima inicial é \(x^*=(x_1^*, x_2^*)=(50,50)\), com nível de utilidade \(u(x^*)=50\).
Aumento no preço do bem 1 para \(\hat p_1=2\).
- Agora a cesta ótima é \((\hat x_1, \hat x_2)=(25,50)\), com nível de utilidade \(\hat u(\hat x)=25\sqrt{2}\).
- Qual o valor de renda a ser dada ao consumidor para voltarmos ao nível de utilidade inicial?
\(v(p_1, p_2, m)=\left(\frac{m}{2p_1}\right)^{0,5}\left(\frac{m}{2p_2}\right)^{0,5}=\frac{m}{2\sqrt{p_1p_2}}\).
- \(50=\frac{m'}{2\sqrt{2\cdot 1}}\implies m'=100\sqrt{2}\).
- Logo, a variação compensadora é \(m'-m=100\sqrt{2}-100\approx 41\).

No exemplo anterior, quanto dinheiro seria necessário tirar do consumidor antes do aumento no preço para que ele ficasse tão bem quanto depois do aumento no preço?
Sabemos que \(u(\hat x)=25\sqrt{2}\), portanto:
- \(25\sqrt{2}=\frac{m'}{2\sqrt{1\cdot 1}}\implies m'=50\sqrt{2}\).
- Logo, a variação equivalente é \(m-m'=100-50\sqrt{2}\approx 30\).

Em geral, para preferências bem-comportadas, temos a seguinte relação entre as medidas de bem-estar:
- \(\text{Varição Equivalente} \leq \text{Variação Excedente Consumidor} \leq \text{Variação Compensadora}\).
No caso de utilidade quasi-linear, temos que:
- \(\text{Variação Equivalente} = \text{Variação Excedente Consumidor} = \text{Variação Compensadora}\).