Escolha Intertemporal

Rafael Bressan

Motivação

Frequentemente, renda e consumo ocorrem em momentos distintos.
Consumidores podem poupar para consumir em períodos subsequentes ou tomar emprestado para financiar consumo corrente com renda futura.
Nesse caso, precisamos estender nossa análise, considerando preferências sobre cestas em diferentes momentos do tempo e uma restrição orçamentária intertemporal.
As escolhas de consumo ao longo do tempo são chamadas de escolhas intertemporais.

Valor presente e valor futuro

Se pudermos tomar empréstimos e emprestar a uma taxa de juros $r$, qual será o equivalente, no futuro, de $m atual?
- Valor futuro: $m(1+r)$
E qual o valor presente de uma renda $m que receberemos no futuro?
- Valor presente: $\frac{m}{1+r}$

Restrição orçamentária intertemporal

Consumidor escolhe o quanto consumirá de certo bem composto em dois períodos de tempo.
A renda deste consumidor recebida em cada período de tempo é denotada por $m_1$ e $m_2$.
Suponhamos de início que este consumidor só possa fazer poupança. No período 2 ele poderá consumir sua renda $m_2$ mais o que poupou no período 1 com juros.
Então deve valer a seguinte restrição orçamentária para este poupador: $c_2=m_2+(1+r)(m_1-c_1)$. Que pode ser reescrita na forma de valor futuro da RO. \[(1+r)c_1+c_2=(1+r)m_1+m_2 \qquad(1)\]
A inclinação da reta orçamentária é $-(1+r)$.

Restrição orçamentária intertemporal

O consumidor será tomador de empréstimos se $c_1 > m_1$ e terá de pagar juros no segundo período.
A RO será: $c_2=m_2-(1+r)(c_1-m_1)$. Que pode novamente ser apresentada na forma de valor futuro da RO.
Ou seja, desde que a taxa de remuneração da poupança seja igual à taxa de juros do empréstimo, a restrição orçamentária intertemporal será representada pela Figura 1.
A RO intertemporal também pode ser apresentada na forma de valor presente \[c_1+\frac{c_2}{1+r}=m_1+\frac{m_2}{1+r}\]

Restrição orçamentária intertemporal

Code

import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo os parâmetros
r = 0.05
w1 = 100
w2 = 120
c1 = 60
c2 = 80

# Criando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 10))
# ax.plot([0, w1+w2/(1+r)], [(1+r)*w1+w2, 0], label='Restrição Orçamentária')
ax.plot([0, w1], [(1+r)*w1+w2, w2], color='green', linewidth=3)
ax.plot([w1, w1+w2/(1+r)], [w2, 0], color='red', linewidth=3)
ax.plot([w1], [w2], 'bo', label = 'Dotação')
ax.annotate('Dotação', xy=(w1, w2), xytext=(w1 + 5, w2 + 5), ha='left', size=15)
ax.annotate('Poupança', xy=(w1-50, w2+50), xytext=(w1, w2+100), ha='center', size = 15, arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
ax.annotate('Tomada de Empréstimo', xy=(w1+50, w2-50), xytext=(w1, w2-100), ha='center', size = 15, arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
ax.annotate('Inclinação = -(1+r)', xy=(w1, w2), xytext=(w1+40, w2+40), ha='center', size=15)
ax.grid(True)
ax.set_xlabel('Consumo 1')
ax.set_ylabel('Consumo 2')
plt.show()

Preferências de consumo intertemporais

A convexidade de preferências é muito natural nesse contexto.
Ela diz que o consumidor prefere ter uma quantidade “média” de consumo em cada período.
Suavização do consumo
Dada a RO intertemporal e as preferências convexas de consumo nos 2 períodos, podemos examinar a escolha ótima do consumidor.

Figura 2: Tomador de empréstimos e poupador. Fonte: Varian (2015)

Preferências intertemporais

Preferências serão representadas por uma função de utilidade $U(c_1,c_2)$
- $U(c_1, c_2)=u(c_1)+\beta u(c_2)$. Onde $\beta$ é um parâmetro de desconto.
- $U(c)=\sum_{t=0}^T\beta^{t}u(c_t)$, onde $T$ é o número de períodos.
Para termos preferências convexas, a função utilidade instantânea $u(c_t)$ deve ser côncava.
- $u''(c_t)<0$ para todo $t$.
O parâmetro de desconto $\beta$ deve ser tal que $0<\beta<1$.
- $\beta$ mede a importância relativa do consumo no presente em relação ao consumo no futuro. Paciência do consumidor.
- $\beta$ menor implica em consumidor mais impaciente.

Exemplo

Considera uma função de utilidade instantânea logarítmica $u(c_t)=\ln(c_t)$.
O problema do consumidor, em dois períodos, é:

\[ \begin{align} \max_{c_1,c_2} \quad & \ln(c_1)+\beta\ln(c_2)\\ \text{s.a.} \quad & (1+r)c_1+c_2=(1+r)m_1+m_2 \end{align} \]

Qual o valor do parâmetro de desconto intertemporal que torna o consumidor indiferente entre ser um poupador ou um tomador de empréstimos?

Solução

Como a função utilidade instantânea é côncava, podemos aplicar a condição de tangência.
$TMS=1+r$. Logo $c_2=(1+r)\beta c_1$.
Como desejamos $c_1=m_1$ e $c_2=m_2$, então $\beta=\frac{m_2}{(1+r)m_1}$.
Podemos continuar a resolução dos consumos ótimos e obter:
- $c_1^*=\frac{m_1}{1+\beta}+\frac{m_2}{(1+r)(1+\beta)}$ e $c_2^*=\frac{\beta m_2}{1+\beta}+\frac{(1+r)\beta m_1}{(1+\beta)}$
É possível conferir que $c_1^*=m_1 \implies \beta = \frac{m_2}{(1+r)m_1}$, como encontrado anteriormente.

Estática comparativa

Como o consumidor reagiria a uma mudança da taxa de juros?
A inclinação da RO será alterada e um novo ponto de tangência será encontrado.
A dotação é sempre acessível, logo a nova RO “gira” em torno da dotação.
Existem dois casos, dependendo se inicialmente o consumidor ser poupador ou tomador de empréstimos
- Poupador: quando a taxa de juros subir o consumidor continuará sendo um poupador, $c_1<m_1$
- Tomador de empréstimos: quando a taxa de juros cair o consumidor continuará sendo um tomador de empréstimos, $c_1>m_1$
- Nos outros dois casos (poupador quando juros caem e tomador de empréstimos quando juros sobem), não podemos fazer afirmações.

Preferências reveladas

Caso de aumento de juros para um poupador.
Consumidor começa como poupador, sua cesta de consumo está à esquerda do ponto de dotação.
Se a taxa de juros aumentar, o consumidor nunca irá escolher um ponto a direita do ponto de dotação.
- As escolhas à direita do ponto de dotação estavam disponíveis para o consumidor no conjunto orçamentário original, mas foram rejeitadas
- Pontos que agora estão abaixo da RO original não serão escolhidos, pois a própria escolha inicial continua disponível.
- O novo ponto de ótimo deve estar fora do conjunto orçamentário original.

💡 Este é o princípio da preferência revelada.

Estatística comparativa

Considere um tomador de empréstimos que se mantém nesta situação mesmo com um aumento da taxa de juros.
O aumento da taxa de juros gira a RO em torno da dotação.
Caso o consumidor continue na situação de tomador de empréstimos, ele estará pior que na situção original. 😠
Caso semelhante ocorre com o poupador que se mantém nesta situação mesmo com uma queda da taxa de juros.

Figura 4: Tomador de empréstimo piora com o aumento da taxa de juros. Fonte: Varian (2015)

📚 Bibliografia

VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. Disponível em: app.minhabiblioteca.com.br/books/9788595155107