Demanda Marshalliana

Rafael Bressan

Funções de demanda Marshallianas

Na aula anterior vimos como manipular as condições de primeira ordem para um problema de otimização com restrições para solucionar o problema primal do consumidor e encontrar os valores ótimos de $x_1, x_2, \dots, x_n$.
De maneira geral, estes valores ótimos serão funções dos preços unitários de todos os bens e da renda monetária do indivíduo. Isto é:

\[\begin{aligned} x_1^* &=& x_1(p_1, p_2, \dots, p_n, I), \nonumber \\ x_2^* &=& x_2(p_1, p_2, \dots, p_n, I), \nonumber \\ &\vdots& \nonumber \\ x_n^* &=& x_n(p_1, p_2, \dots, p_n, I). \end{aligned} \qquad(1)\]

A este conjunto de funções de demanda ( Equação 1 ) damos o nome de demandas Marshallianas em homenagem ao economista clássico Alfred Marshall.

Função de utilidade indireta

O conjunto de funções de demandas Marshallianas ( Equação 1 ) mostra qual a escolha ótima de consumo quando os preços são $p_1, p_2, \dots, p_n$ e a renda $I$.
Se substituirmos os valores ótimos de $x$ na função utilidade original $U(x_1, x_2, \dots, x_n)$, obtemos:

\[\begin{aligned} \text{utilidade máxima} &=U[x_1^*(p_1, \dots, p_n, I), \dots, x_n^*(p_1, \dots, p_n, I)] \nonumber \\ &=V(p_1, p_2, \dots, p_n, I). \end{aligned}\]

Dado o objetivo do consumidor em maximizar sua utilidade dada sua restrição orçamentária, o nível ótimo de utilidade atingível dependerá indiretamente dos preços dos bens e da renda monetária à disposição deste consumidor.
Esta dependência é observada pela função de utilidade indireta $V$.
Mudanças nos preços dos bens ou na renda alteram o nível de utilidade que pode ser obtido.

Função de utilidade indireta

A função de utilidade indireta é um exemplo de uma função valor.
Essa função soluciona todas as variáveis endógenas em um problema de otimização deixando o valor ótimo obtido como uma função somente das variáveis exógenas.
Tal abordagem nos permite explorar como mudanças nas variáveis exógenas afetam o resultado final sem precisarmos refazer o problema de otimização original.
É importante ressaltar, no entanto, que a dependência de $x_i$ em $p_1, \dots, p_n$ e $I$, e não diretamente nas quantidades consumidas dos outros bens, não implica que a escolha de consumo de um bem qualquer não dependa da escolha de consumo dos outros bens.
Significa, apenas, que as escolhas de $x_j$ ($j \neq i$) estão implicitamente incorporadas na solução e foram substituídas pelos seus preços e pela renda.

Identidade de Roy

A identidade de Roy, nomeada em homenagem ao economista francês René Roy é um resultado importante em microeconomia com aplicações na escolha do consumidor e na teoria da firma.
O lema relaciona a função de demanda ordinária (Marshalliana) às derivadas da função de utilidade indireta. A equação da identidade de Roy é:

\[x_i(\boldsymbol{p},I) = -\frac{\partial V(\boldsymbol{p},I)/\partial p_i}{\partial V(\boldsymbol{p},I)/\partial I}\]

onde $x_i$ é a demanda Marshalliana do bem $i$, $V$ é a função de utilidade indireta, $p$ é o vetor de preços dos bens e $I$ é a renda.

É possível recuperar as demandas Marshallianas a partir da função de utilidade indireta.

Exemplos

Cobb-Douglas

Obtenha as funções de demanda Marshallianas e a função de utilidade indireta para a seguinte função utilidade do tipo Cobb-Douglas:

\[U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5},\]

considerando a restrição orçamentária: $p_xx + p_yy = I$.

Calcule o nível de utilidade máximo quando $p_x = 1$, $p_y = 4$ e $I = 8$.

Solução

Para a função utilidade Cobb-Douglas $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ e a restrição orçamentária $p_x x + p_y y = I$, as funções de demanda Marshallianas são:
$x(p_x,p_y,I) = \frac{I}{2p_x}$
$y(p_x,p_y,I) = \frac{I}{2p_y}$
A função de utilidade indireta é obtida substituindo as funções de demanda na função utilidade:
$V(p_x,p_y,I) = U(x(p_x,p_y,I),y(p_x,p_y,I)) = \left(\frac{I}{2p_x}\right)^{0,5}\left(\frac{I}{2p_y}\right)^{0,5} = \frac{I}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{p_x p_y}}\right)$

Exemplos

Bens complementares

Obtenha as funções de demanda Marshallianas e a função de utilidade indireta para a seguinte função utilidade de bens complementares: \[U(x,y) = \min\{x,4y\}\] considerando a restrição orçamentária: $p_xx + p_yy = I$.

Calcule o nível de utilidade máximo quando $p_x = 1$, $p_y = 4$ e $I = 8$.

Solução

Sabemos que a condição $TMS=p_x/p_y$ não vale para bens complementares.
O consumo será sempre na “quina” da curva de indiferença, onde $x=4y$.
Substituindo de volta na restrição orçametária temos que:

\[p_x 4y + p_y y = I \Rightarrow y^* = \frac{I}{4p_x + p_y}\]

\[x^* = \frac{I}{4p_x + p_y}\]

A função de utilidade indireta é obtida substituindo as funções de demanda na função utilidade: \[V(p_x, p_y, I)=\frac{I}{4p_x + p_y}\]
O nível de utilidade máximo obtido quando $p_x = 1$, $p_y = 4$ e $I = 8$ será $V(1,4,8)=\frac{8}{4+4}=1$.

Exemplos

Função Cobb-Douglas

Obtenha as funções de demanda Marshallianas e a função de utilidade indireta para a seguinte função utilidade do tipo Cobb-Douglas: \[U(x,y) = x^{\alpha}y^{1-\alpha}, \qquad \alpha \in (0,1)\] considerando a restrição orçamentária: $p_xx + p_yy = I$.

Mostre que a fração da renda consumida em cada bem é constante. Ou seja, $x^*=\frac{\alpha I}{p_x}$ e $y^*=\frac{(1-\alpha) I}{p_y}$.

Computação Simbólica

A computação simbólica é uma ferramenta poderosa para a solução de problemas de otimização
A ideia é utilizar um software para realizar as manipulações algébricas necessárias para obter a solução analítica do problema.
Podemos utilizar ferramentas de computação simbólica para obter as funções de demanda Marshallianas e utilidade indireta para uma gama de funções utilidade
notebook

Função dispêndio e dualidade

Problema dual do consumidor

Até agora focamos no problema primal do consumidor: dados os preços de mercado e a renda, quais são as quantidades de cada bem escolhidas que maximizam sua utilidade.
Muitos dos problemas de maximização com restrições possuem um problema “dual” associado de minimização com restrições.
Para o caso de maximização de utilidade, o problema dual de minimização associado consiste em alocar a renda do indivíduo de forma a atingir um nível específico de utilidade com o menor gasto possível.

Problema dual do consumidor

Figura 1: Problema dual da minimização de dispêndio. Fonte: Nicholson e Snyder (2019).

Problema dual do consumidor: estrutra formal

O dispêndio (ou gasto) do consumidor com a cesta de bens $\textbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ é dado por: \[E = p_1x_1 + p_2x_2 + \dots + p_nx_n.\]
O problema dual de minimização de dispêndio do consumidor é, então, dado por:

\[\begin{aligned} &\min_{x_1, \dots, x_n}& p_1x_1 + p_2x_2 + \dots + p_nx_n \nonumber \\ &\text{s.a.}& U(x_1, x_2, \dots, x_n) = \bar{U}. \end{aligned} \qquad(2)\]

Ou seja, o consumidor minimiza seus gastos para um certo nível de utilidade $\bar{U}$ que deseja alcançar.

Problema dual do consumidor: Lagrangeano

Para os casos de pontos ótimos interiores, podemos resolver o problema de minimização via método de Lagrange.
O Lagrangeano do problema Equação 2 é dado por: \[\mathcal{L} = p_1x_1 + \dots + p_nx_n + \mu\left[\bar{U} - U(x_1, x_2, \dots, x_n)\right].\]
As condições de primeira ordem associadas são dadas pelo seguinte sistema de $n + 1$ equações:

\[\begin{aligned} p_1 &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_1}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \nonumber \\ p_2 &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_2}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \nonumber \\ &\vdots& \nonumber \\ p_n &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_n}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \nonumber \\ \bar{U} &=& U(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*). \end{aligned}\]

Problema dual do consumidor

As $n$ primeiras CPOs são idênticas às CPOs do problema primal do consumidor de maximização de utilidade.
A condição de que a TMS entre dois bens seja igual à razão entre seus preços de mercado continua válida.
Portanto, a solução do problema dual do consumidor satisfaz a condição de tangência entre a curva de indiferença dada por $\bar{U}$ e a reta de dispêndio.
Apenas a última CPO é diferente, pois diz que o consumidor deseja consumir a cesta de consumo ótima que garanta um nível de utilidade igual à $\bar{U}$.

Demandas compensadas

Função dispêndio

As quantidades ótimas consumidas de $x_1, \dots, x_n$ neste problema são funções dos preços dos bens ($p_1, \dots, p_n$) e do nível de utilidade desejado $\bar{U}$.
Se algum dos preços for alterado, ou a meta de utilidade desejada, a cesta de consumos ótima também será alterada.

Função dispêndio

A função dispêndio do indivíduo mostra os gastos mínimos necessários para atingir um determinado nível de utilidade para um dado vetor de preços: \[\text{dispêndios mínimos} = E(p_1, p_2, \dots, p_n, U).\]
Essa definição mostra que a função dispêndio, que também é uma função valor, e a função utilidade indireta são inversas.

Demandas compensadas (Hicksianas)

As funções demanda desse problema são funções dos preços e do nível de utilidade:

\[\begin{aligned} x_1^c &=& x_1^c(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}), \nonumber \\ x_2^c &=& x_2^c(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}), \nonumber \\ &\vdots& \nonumber \\ x_n^c &=& x_n^c(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}). \end{aligned}\]

Essas funções de demanda são chamadas demandas Hicksianas (ou demandas compensadas).
As demandas Hicksianas são funções dos preços e nível de utilidade. As demandas Marshallianas são funções dos preços e do nível de renda.

Demandas compensadas (Hicksianas)

São chamadas demandas compensadas pois elas “compensam” o consumidor de modo a mantê-lo sempre na mesma curva de indiferença $\bar{U}$.

Figura 2: Demandas compensadas.

Demandas compensadas (Hicksianas)

A demanda Hicksiana não é diretamente observável, pois depende do nível de utilidade $\bar{U}$.
A demanda Marshalliana, por sua vez, é diretamente observável pois depende apenas dos preços dos bens e da renda - variáveis mensuráveis.
Substituindo as demandas Hicksianas no gasto do consumidor, obtemos a função dispêndio definida anteriormente:

\[E(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}) = p_1 x_1^c(p_1, \dots, p_n, \bar{U}) + \dots + p_n x_n^c (p_1, \dots, p_n, \bar{U}).\]

A função dispêndio mostra o gasto mínimo necessário para se alcançar o nível de utilidade $\bar{U}$, aos preços $\textbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$ de mercado.

Demandas compensadas (Hicksianas)

O multiplicador de Lagrange representa o custo marginal para se obter uma unidade adicional de utilidade.
Existe uma relação entre o multiplicador de Lagrange do problema dual $\mu$ com o multiplicador de Lagrange $\lambda$ do problema primal:

\[\mu = \frac{p_i}{U_i}, \qquad \lambda = \frac{U_i}{p_i} \Rightarrow \mu = \frac{1}{\lambda}.\]

Portanto, o multiplicador de Lagrange do problema de minimização é o inverso do multiplicador de Lagrange do problema de maximização.

Exemplos

Dados $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ e $I = p_xx + p_yy$, a função utilidade indireta é dada por: $V(p_x,p_y,I) = \frac{I}{2}\frac{1}{\sqrt{p_x p_y}}$. Como a função dispêndio é o inverso da utilidade indireta, temos:

\[E(p_x,p_y,U) = 2p_x^{0,5}p_y^{0,5}U.\]

Mostre que este resultado é o mesmo obtido quando resolvemos o problema de minimização.
Mostre, também, que para $p_x = 1$, $p_y = 4$ e uma meta de utilidade $U = 2$, o nível mínimo de dispêndio é $E = 8$.
Se o preço do bem $y$ aumentar de $4 para $9, qual a compensação monetária o indivíduo necessita para manter o mesmo nível de utilidade?

Solução

\[\begin{aligned} &\min_{x, y}& p_x x + p_y y \nonumber \\ &\text{s.a.}& x^{0,5}y^{0,5} = \bar{U}. \end{aligned}\]

$y = \frac{\bar{U}^2}{x}$
$p_x x + p_y \frac{\bar{U}^2}{x}$
$p_x - p_y \bar{U}^{2}x^{-2} = 0$
$x = \left(\frac{p_y}{p_x}\right)^{0,5}\bar{U}$
$y = \left(\frac{p_x}{p_y}\right)^{0,5}\bar{U}$
$E = p_x x + p_y y = 2p_x^{0,5}p_y^{0,5}U.$

$p_x = 1$, $p_y = 4$, $U = 2$ $\implies E = 2\cdot 1^{0,5}\cdot 4^{0,5}\cdot 2=8$
$p_y\rightarrow 9 \implies E = 2\cdot 1^{0,5}\cdot 9^{0,5}\cdot 2=12$
Logo, temos de compensar o consumidor com $4 para manter o mesmo nível de utilidade.

Exemplos

Dada a função utilidade $U(x,y) = \min\{x,4y\}$, podemos calcular a função utilidade indireta: \[V(p_x,p_y,I) = \frac{I}{p_x + 0,25p_y}.\]

Portanto, a função dispêndio é dada por: \[E(p_x,p_y,U) = (p_x + 0,25p_y)U.\]

Dados, $p_x = 1, p_y = 4$ e uma meta de utilidade $\bar{U} = 4$, obtemos o dispêndio total de $8 como no exercício anterior.

Neste caso, se o preço do bem $y$ aumentar de $4 para $9, os gastos deste consumidor deveriam aumentar em quanto para manter o mesmo nível de utilidade?

Propriedades da função dispêndio

As funções dispêndio são homogêneas de grau um em todos os preços.

Função homogênea de grau k

Uma função $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ é dita homogênea de grau $k$ se:

\[f(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) = t^kf(x_1, x_2, \dots, x_n), \qquad \forall t\geq 0.\]

Isto quer dizer que, se todos os preços dos bens dobrarem, então, a renda dispendida também deve dobrar para que o consumidor permaneça na mesma curva de indiferença (mesmo nível de utilidade).

Exemplo

Vimos que a função dispêndio associada a uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ é dada por: \[E(p_x, p_y, U) = 2p_x^{0,5}p_y^{0,5}U.\]

Vamos mostrar que esta função é homogênea de grau 1.

Exemplo

Vimos que a função dispêndio associada a uma função utilidade de proporções fixas $U(x,y) = \min(x,4y)$ é dada por: \[E(p_x, p_y, U) = (p_x + 0,25p_y)U.\] Vamos mostrar que esta função é homogênea de grau 1.

Propriedades da função dispêndio

As funções dispêndio são não-decrescentes nos preços:

\[\frac{\partial E(p_1, \dots, p_i, \dots, p_n, U)}{\partial p_i} \geq 0, \qquad \forall i.\]

Como a função dispêndio nos diz o gasto mínimo necessário para que o consumidor atinja um nível específico de utilidade, um aumento de preços em um bem qualquer deve aumentar esse gasto mínimo.

Propriedades da função dispêndio

Suponha que o preço de um bem aumente e dos outros permaneçam constante.
Seja $A$ a cesta de consumos adquirida antes do aumento de preços, e $B$ a cesta de consumos adquirida após o aumento de preços.
Claramente a cesta $B$ custa mais após o aumento de preços do que custava antes.
No entanto, $B$ antes do aumento de preços custava mais que a cesta $A$ - pois $A$ é a cesta ótima que minimiza o dispêndio do consumidor para um dado nível de utilidade.
Portanto: a cesta de consumo $A$ custa menos que a cesta de consumo $B$ antes do aumento de preços que, por sua vez, custa menos que a cesta de consumo $A$ após o aumento de preços.
Logo, a cesta de consumo escolhida após o aumento de preços ($B$) custa mais que a cesta escolhida antes do aumento de preços ($A$) - função dispêndio é não decrescente nos preços.

Propriedades da função dispêndio

A função dispêndio $E(\textbf{p}, \bar{U})$ é côncava nos preços - ou seja, o gráfico da função está sempre abaixo de retas tangentes a ele.

Figura 3: Função dispêndio: concavidade nos preços. Fonte: Nicholson e Snyder (2019).

Propriedades da função dispêndio

A Figura 3 mostra a função dispêndio de um consumidor como função de um único preço, $p_1$.
Ao preço inicial, $p_1^*$, o gasto mínimo deste indivíduo é dado por $E(p_1^*, \dots)$.
Agora considere preços maiores ou mais baixos que $p_1^*$. Se esse indivíduo continuasse adquirindo a mesma cesta de consumo, seus gastos iriam aumentar ou diminuir de maneira linear com as mudanças de preço.
Isso corresponde à função pseudodispêndio - ou dispêndio passivo - $E^{\text{pseudo}}$ na figura.
Esta reta mostra o nível de gastos que permitiria a aquisição da cesta de consumo original independentemente da variação de preços.
Se, no entanto, esta pessoa ajustar sua compra à medida que $p_1$ mudasse, sabemos que (em decorrência da minimização de gastos) os gastos reais seriam menores que esse gasto passivo.

Propriedades da função dispêndio

Portanto, a função dispêndio real, $E$, ficará abaixo de $E^{\text{pseudo}}$ em todos os pontos e a função será côncava.
Um resultado da concavidade é que $f_{ii} = \partial^2 E/\partial p_i^2\leq 0$, precisamente o que mostra a Figura 3.
A concavidade da função dispêndio é um dos resultados mais importantes da aula de hoje e será uma propriedade útil para inúmeras aplicações, sobretudo para as relacionadas ao efeito substituição das mudanças de preços - que veremos nas próximas aulas.

📚 Bibliografia

NICHOLSON, W.; SNYDER C. Teoria microeconômica: Princípios básicos e aplicações. Cengage Learning Brasil, 2019. Disponível em: app.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127030

VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. Disponível em: app.minhabiblioteca.com.br/books/9788595155107