Econometria III

Questões - Equações Simultâneas

Autor

Rafael Bressan

Data de Publicação

24 de julho de 2023

Questão 1

São corretas as afirmativas. Em modelos de equações simultâneas:

  • (\(\phantom{X}\)) o problema da identificação precede o da estimação.

  • (\(\phantom{X}\)) os estimadores de mínimos quadrados indiretos e os de mínimos quadrados de dois estágios são não-tendenciosos e consistentes.

  • (\(\phantom{X}\)) se uma equação é exatamente identificada, os métodos de mínimos quadrados indiretos e de dois estágios produzem resultados idênticos.

  • (\(\phantom{X}\)) o método de mínimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a equações exatamente identificados quanto a equações sobreidentificadas.

Questão 2

Considere o seguinte modelo de equações simultâneas:

Equação de Demanda: \(Q_t = \alpha_0 + \alpha_1 P_t + \alpha_2 R_t + u_{1t}\) Equação de oferta: \(Q_t = \beta_0 + \beta_1 P_t + \beta_2 P_{t-1} + u_{2t}\)

em que no período \(t\), \(Q_t\) é a quantidade de produto, \(P_t\), o preço (endógeno) do produto, \(R_t\) a renda do consumidor e os erros idiossincráticos são \(u_{1t}\perp u_{2t}\). A partir destas equações são obtidas as equações na forma reduzida: \(P_t = \pi_0 + \pi_1 R_t + \pi_2 P_{t-1} + v_t\) e \(Q_t = \pi_3 + \pi_4 R_t + \pi_5 P_{t-1} +w_t\).

São corretas as afirmativas

  • (\(\phantom{X}\)) Assim sendo, \(\pi_0=\frac{\beta_0-\alpha_0}{\alpha_1-\beta_1}\), \(\pi_1=\frac{\alpha_2}{\alpha_1-\beta_1}\) e \(\pi_2=\frac{\beta_2}{\alpha_1-\beta_1}\)

  • (\(\phantom{X}\)) A condição de ordem sugere que a primeira e a segunda equações são identificadas

  • (\(\phantom{X}\)) Se multiplicarmos a equação de demanda por \(\lambda (0 < \lambda < 1)\) e a equação de oferta por \((1- \lambda)\) e somá-las, desde que o resultado dessa soma seja diferente da equação de oferta e da equação de demanda, as duas serão identificadas.

  • (\(\phantom{X}\)) O método de mínimos quadrados ordinários produz estimadores consistentes e eficientes dos parâmetros da forma estrutural.

  • (\(\phantom{X}\)) Para verificar se qualquer equação do sistema é identificável, basta aplicar a condição de ordem.

Questão 3

O exercício a seguir usa o conjunto de dados truffles do pacote “PoEdata”, onde \(q\) é a quantidade de trufas comercializadas, \(p\) é o preço de mercado, \(p_s\) é o preço de um substituto, \(d_i\) é a renda e \(p_f\) é uma medida dos custos de produção. As equações estruturais de demanda e oferta (Equações 1 e 2) são formuladas com base na teoria econômica. Quantidade e preço são endógenos, e todas as outras variáveis são consideradas exógenas.

\[ \begin{align} q&=\alpha_1+\alpha_2p+\alpha_3p_s+\alpha_4d_i+e_d\\ q&=\beta_1+\beta_2p+\beta_3p_f+e_s \end{align} \]

Instale o pacote “PoEdata” e carregue os dados com os seguintes comandos:

# install.packages("remotes") # Se necessário
# remotes::install_github("ccolonescu/PoEdata")
library(PoEdata)
data("truffles")

  1. Qual a condição de ordem para a identificação de cada uma das equações do modelo? Classifique as equações em: não-identificada, exatamente identificada ou sobreidentificada.

  2. Estime as formas reduzidas para quantidade e preço. Apresente os resultados e interprete. Os coeficientes são estatisticamente diferentes de zero? O que isso significa em termos de relevância de instrumentos?

  3. Se estamos interessados em estimar a equação de demanda, qual é o instrumento adequado para o preço? Por quê?

  4. Estime apenas a equação 1 (demanda) utilizando MQ2E com o instrumento selecionado anteriormente. Apresente os resultados.

  5. Estime ambas as equações de forma conjunta através de MQ2E. O resultado da estimação da equação de demanda é igual ao anterior?

Questão 4

Considere o modelo:

\[ \begin{equation} \begin{cases} Q_t^D=&\alpha_1+\beta_1P_t+u_t^D\\ Q_t^O=&\alpha_2+\beta_2P_t+u_t^O\\ Q_t^D\equiv& Q_t^O = Q_t \end{cases} \end{equation} \]

em que \(Q_t^D\) e \(Q_t^O\) são quantidades demandadas e ofertadas, respectivamente, de maças no mercado brasileiro no ano \(t\). \(P_t\) é o preço de mercado da maçã e \(u_t^D\) e \(u_t^O\) são termos de erro aleatório com média igual a zero e não correlacionados entre si.

  1. Encontre a forma reduzida para a expressão do preço \(P_t\) em função dos parâmetros estruturais e termos de erro.

  2. Tome a equação de demanda e explique em detalhes porque não é possível estimar \(\alpha_1\) e \(\beta_1\) através de MQO.

  3. A serra catarinense é um grande produtor de maçãs para o mercado brasileiro. As macieiras são mais produtivas quanto maior o número de dias com temperatura abaixo de zero. Você tem acesso a informação de temperaturas mínimas diárias para esta região. Descreva como esta informação é útil para estimar o modelo acima. Quais parâmetros serão identificados? Qual método pode ser utilizado para a estimação? Considere que o consumo de maçãs não é afetado por dias frios.