class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Econometria III ] .subtitle[ ## Efeitos Aleatórios e Diferenças-em-Diferenças ] .author[ ### Rafael Bressan ] .date[ ### Esag 2023-10-25 ] --- layout: true <div class="my-footer"><img src="../../img/logo/UdescEsag.jpeg" style="height: 60px;"/></div> --- --- # Estimador Efeitos Aleatórios * Começamos com nosso modelo canônico de painel com heterogeneidade não observada -- `\(y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}\)` -- * Quando `\(cov(\alpha_i, x_{it})\neq 0\)`, devemos utilizar EF ou PD * Se `\(cov(\alpha_i, x_{it}) = 0\)`, então MQO não é viesado -- * ***Por que utilizar EA***? --- # Estimador Efeitos Aleatórios `\(y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}\)` * Vejamos o que ocorre com a ***correlação serial do erro composto*** `\(v_{it}=\alpha_i+u_{it}\)` -- `\(cov(v_{it}, v_{is})=cov(\alpha_i+u_{it}, \alpha_i+u_{is})=\sigma_\alpha^2\implies corr(v_{it}, v_{is})=\sigma_\alpha^2 / (\sigma_\alpha^2 + \sigma_u^2)\)` -- * Heterogeneidade não observada, mesmo quando não relacionada com o regressor `\(x\)`, **induz correlação serial** no termo de erro! * MQO deixa de ser BLUE 😡 -- * **Estimador de EA** será Mínimos Quadrados Generalizados (**MQG**) para corrigir esta correlação serial --- # Estimador Efeitos Aleatórios ## Como funciona? * `\(\bar y_{i}=T^{-1}\sum_{t}y_{it}\)` * Faremos uma centralização **parcial** na média intragrupo -- * `\(y_{it}-\lambda \bar{y}_{i}=\beta_0(1-\lambda)+\beta_1 (x_{it}-\lambda \bar{x}_i)+v_{it}-\lambda\bar{v}_i\)` * Por enquanto não sabemos o melhor valor para `\(0\leq\lambda\leq 1\)` -- * `\(\lambda\rightarrow 0 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{MQO}\)` e `\(\lambda\rightarrow 1 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{EF}\)` -- * Se a hipótese de EA for válida, `\(cov(x_{it}, \alpha_i) = 0\)`, então + `\(\hat\beta_1^{EA}\rightarrow \beta_1\)` --- # Estimador Efeitos Aleatórios ## Melhor valor de `\(\lambda\)` * O valor do ponderador `\(\lambda\)` que eliminará a correlação serial em `\(v_{it}-\lambda\bar v_i\)` será: -- `$$\lambda=1-\left[\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2+T\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$$` -- * Na prática não conhecemos `\(\lambda\)`, pois, não observamos as variâncias diretamente * A solução é utilizar um estimador de Mínimos Quadrados Generalizados **Factíveis** (***MQGF***) -- `$$\hat\lambda=1-\left[\frac{\hat\sigma_u^2}{\hat\sigma_u^2+T\hat\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$$` --- # Estimador Efeitos Aleatórios ## MQGF * MQO também é não viesado. Usado para estimar `\(\hat{v}_{it}\)` e `\(\hat\sigma_v^2\)` -- * `\(\hat\sigma_\alpha^2\)` é estimado pela covariância entre `\(\hat{v}_{it}\)` e `\(\hat{v}_{is}\)`, com `\(t\neq s\)` `$$\hat\sigma_\alpha^2=\frac{1}{NT(T-1)/2 - 2}\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^{T-1}\sum_{s=t+1}^T\hat{v}_{it}\hat{v}_{is}$$` -- * E `\(\hat\sigma_u^2\)` é estimado pela diferença `$$\hat\sigma_u^2=\hat\sigma_v^2 - \hat\sigma_\alpha^2$$` --- # Estimador Efeitos Aleatórios ## Limitações * Principal hipótese de EA é `\(cov(x_{it}, \alpha_i) = 0\)` -- * Hipótese muito restritiva. Equivalente a MQO. -- * Deve ser encarada como **exceção** e não regra -- * Usa-se painel geralmente para explorar heterogeneidade não observada que está correlacionada com os regressores -- * Somente usado se podemos ***plausivelmente*** presumir que `\(cov(x_{it}, \alpha_i) = 0\)`. Caso contrário, EF é preferível --- # Estimador Efeitos Aleatórios ## EA ou EF? * O principal ponto a ser considerado em escolher um modelo de Efeito Fixo ou Efeito Aleatório é a plausibilidade da hipótese `\(cov(x_{it}, \alpha_i) = 0\)` * Quando a hipótese é verdadeira, **ambos** os estimadores são consistentes * Se `\(cov(x_{it}, \alpha_i) \neq 0\)`, então **apenas** EF é consistente -- * Ideia de Hausman: testamos `\(cov(x_{it}, \alpha_i) = 0\)` indiretamente ao testarmos `\(\hat\beta_1^{EA}-\hat\beta_1^{EF}=0\)` * Uma rejeição da `\(H_0\)` `\((\text{i.e. }\hat\beta_1^{EA}\neq\hat\beta_1^{EF})\)` implica na **escolha do modelo de EF** --- # Hoje: ***Diferenças-em-diferenças*** * Explora mudanças ao longo do tempo que não afetam a todos * Necessidade de encontrar (ou construir) grupo de controle apropriado * *Suposição chave:* tendências paralelas * *Aplicação empírica*: impacto do ***salário mínimo*** no ***emprego***. Card e Krueger (1994) * Design de inferência causal mais amplamente utilizado em econometria aplicada --- <img src="../../img/photos/quasi_experimental_methods.png" height="580px" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Métodos de avaliação * A regressão múltipla geralmente não fornece estimativas causais por causa da ***seleção em não observáveis*** (e.g. viés de variável omitida). -- * Experimentos RCTs são uma maneira de resolver este problema, mas muitas vezes são impossíveis de fazer. -- * Quatro principais métodos de avaliação causal usados em economia: - ***variáveis instrumentais (VI)***, - ***pareamento por escore de propensão*** (Propensity Score Matching), - ***regressão em descontinuidade (RDD)*** - ***diferenças-em-diferenças (DID)***, e - ***bunching*** chegou atrasado 🕰 -- * Esses métodos são usados para identificar __relações causais__ entre tratamentos e resultados. --- # Diferenças em Diferenças (DID) * ⚠️ indivíduos **não são** alocados aleatoriamente ao tratamento -- ## Requisitos do DID canônico: -- * 2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento. -- * 2 grupos: -- - ***grupo controle:*** nunca recebe tratamento, -- - ***grupo de tratamento:*** inicialmente não tratado e depois totalmente tratado. -- * Sob certas suposições, o grupo de controle pode ser usado como contrafactual para o grupo de tratamento --- # Diferenças em Diferenças (DID) ## Exemplo: Salário Mínimo e Emprego -- * Imagine que você está interessado em avaliar o impacto __causal__ do aumento do salário mínimo no (des)emprego. -- * Por que isso não é tão simples? Qual deve ser o grupo de controle? -- * [Paper](http://davidcard.berkeley.edu/papers/njmin-aer.pdf) seminal em 1994 pelos proeminentes economistas trabalhistas David Card e Alan Krueger intitulado "Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania" -- * Estima o efeito de um aumento do salário mínimo sobre a taxa de emprego na indústria de fast-food. Por que essa indústria? --- # Card e Krueger (1994) ## Detalhes Institucionais * Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele. -- * 1º de abril de 1992: o salário mínimo de Nova Jersey aumenta de US$ 4,25 para US$ 5,05 por hora. -- * A vizinha Pensilvânia não mudou seu nível de salário mínimo. -- .pull-left[ <img src="../../img/photos/nj_penn_map.png" width="600px" style="display: block; margin: auto;" /> ] -- .pull-right[ <br> <br> Pensilvânia e Nova Jersey são ***muito semelhantes***: instituições semelhantes, hábitos semelhantes, consumidores semelhantes, renda semelhante, clima semelhante, etc.] --- # Card e Krueger (1994) ## Metodologia * Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia -- * Tempo: -- - Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992 -- - Levantamento após aumento de SM de NJ: Nov/Dez 1992 -- * Que comparações você acha que eles fizeram? -- .pull-left[ Vamos dar uma olhada nos dados ] -- .pull-right[ ``` ## # A tibble: 6 × 6 ## sheet chain state observation empft emppt ## <chr> <chr> <chr> <chr> <dbl> <dbl> ## 1 46 bk Pennsylvania February 1992 30 15 ## 2 49 kfc Pennsylvania February 1992 6.5 6.5 ## 3 506 kfc Pennsylvania February 1992 3 7 ## 4 56 wendys Pennsylvania February 1992 20 20 ## 5 61 wendys Pennsylvania February 1992 6 26 ## 6 62 wendys Pennsylvania February 1992 0 31 ``` ] --- # Card e Krueger (1994) .pull-left[ ## Resultados .center[__Emprego médio por loja antes e depois do aumento do salário mínimo de NJ__] <table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;"> <thead> <tr> <th style="text-align:left;"> Variáveis </th> <th style="text-align:left;"> Pensilvania </th> <th style="text-align:left;"> Nova Jersey </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:left;"> emprego FTE antes </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" text-align: c;">23.33</span> </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" text-align: c;">20.44</span> </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;"> emprego FTE depois </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" text-align: c;">21.17</span> </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" text-align: c;">21.03</span> </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;"> Mudança na média emprego FTE </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" font-weight: bold; color: white !important;border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: rgba(253, 231, 37, 1) !important;text-align: c;">-2.17</span> </td> <td style="text-align:left;"> <span style=" font-weight: bold; color: white !important;border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: rgba(68, 1, 84, 1) !important;text-align: center;">0.59</span> </td> </tr> </tbody> </table> ] -- .pull-right[ ## Estimativa de DID Estimativa causal de diferenças em diferenças: `\(0,59 - (-2,17) = 2,76\)` Interpretação: o aumento do salário mínimo levou a um __aumento__ no emprego FTE por loja de 2,76 em média. Sim, a essência das diferenças-em-diferenças é _assim_ simples! 😀 Vejamos esses resultados graficamente. ] --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # DID graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Comparação ingênua depois/antes? <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Comparação ingênua depois/antes? <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Comparação simples NJ/PA? <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Comparação simples NJ/PA? <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- layout: false class: separator, middle # Estimação --- layout: true <div class="my-footer"><img src="../../img/logo/UdescEsag.jpeg" style="height: 60px;"/></div> --- # DID em Forma de Regressão * Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações) * Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política -- 3 ingredientes: -- 1. __Variável dummy de tratamento__: `\(TREAT_s\)` onde o subscrito `\(s\)` nos lembra que o tratamento está no nível do estado -- 1. __Variável dummy dos períodos de pós-tratamento__: `\(POST_t\)` onde o subscrito `\(t\)` nos lembra que esta variável varia ao longo do tempo -- 1. __Termo de interação entre os dois__: `\(TREAT_s \times POST_t\)` 👉 o coeficiente neste termo é o **efeito causal** DID! --- # DID em Forma de Regressão __Variável dummy de tratamento__ $$ TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases} $$ -- __Variável dummy pós-tratamento__ $$ POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } t < \text{1º abril, 1992} \\\ 1 \quad \text{se } t \geq \text{1º abril, 1992} \end{array}\end{cases} $$ -- __Quais observações correspondem a `\(TREAT_s \times POST_t = 1\)`?__ -- * Vamos juntar todos esses ingredientes: `$$EMP_{st} = \alpha + \beta TREAT_s + \gamma POST_t + \delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$` --- # Compreendendo a Regressão `$$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$` -- Temos o seguinte: -- `\(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}\)` -- `\(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}\)` -- `\(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}\)` -- `\(\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\tag{4}\)` -- `$$\left[(4)-(3)\right]-\left[(2)-(1)\right] = \color{#d90502}\delta$$` -- `\(\color{#d90502}\delta\)`: ***efeito causal*** do aumento do salário mínimo sobre o emprego --- # Compreendendo a Regressão `$$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$` Em formato de tabela: | Pré | Pós | `\(\Delta\)`(Pós - Pré) :-:|:--:|:--:|:--: Pensilvânia (PA) | `\(\color{#d96502}\alpha\)` | `\(\color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\)` | `\(\color{#02AB0D}\gamma\)` Nova Jersey (NJ) | `\(\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\)` | `\(\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\)` | `\(\color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\)` `\(\Delta\)`(NJ - PA) | `\(\color{#027D83}\beta\)` | `\(\color{#027D83}\beta + \color{#d90502}\delta\)` | `\(\color{#d90502}\delta\)` -- Esta tabela generaliza para outras configurações substituindo *Pensilvânia* por *Controle* e *Nova Jersey* por *Tratamento* --- layout: false class: separator, middle # Identifying Assumptions --- layout: true <div class="my-footer"><img src="../../img/logo/UdescEsag.jpeg" style="height: 60px;"/></div> --- # Hipótese Crucial DID ## Tendências Paralelas > __Hipótese de tendências comuns ou paralelas__: sem qualquer aumento do salário mínimo, a tendência de emprego de fast-food na Pensilvânia teria sido o que deveríamos esperar ver em Nova Jersey. -- * Esta hipótese afirma que a tendência de emprego de fast-food da Pensilvânia entre fevereiro e novembro de 1992 fornece uma tendência confiável de emprego *contrafactual* que a indústria de fast-food de Nova Jersey *teria experimentado* caso não tivesse aumentado seu salário mínimo. -- * Impossível validar ou invalidar completamente esta hipótese (não-testável). * *Verificação intuitiva:* comparar tendências antes da mudança de política e boa argumentação da comparabilidade dos grupos --- # Tendências Paralelas: Graficamente <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Verificando a hipótese de tendências paralelas <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-16-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Verificando a hipótese de tendências paralelas <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-17-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Hipótese de tendências paralelas `\(\rightarrow\)` Verificada ✅ <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Hipótese de tendências paralelas `\(\rightarrow\)` Verificada ✅ <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-19-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Hipótese de tendências paralelas `\(\rightarrow\)` Não verificada ❌ <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-20-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Hipótese de tendências paralelas `\(\rightarrow\)` Não verificada ❌ <img src="07_DID_pt_files/figure-html/unnamed-chunk-21-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Hipótese de Tendências Paralelas: [Card and Krueger (2000)](https://inequality.stanford.edu/sites/default/files/media/_media/pdf/Reference%20Media/Card%20and%20Krueger_2000_Policy.pdf) Aqui estão as tendências reais para a Pensilvânia e Nova Jersey <img src="../../img/photos/min_wage_parallel_trends.png" width="600px" style="display: block; margin: auto;" /> -- .right-wide[ * É provável que a hipótese de tendência comum seja verificada? ] --- # Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente * `\(Y_{ist}^1\)`: emprego no restaurante `\(i\)` no estado `\(s\)` no momento `\(t\)` quando SM estadual alto (resultado potencial tratado); -- * `\(Y_{ist}^0\)`: emprego no restaurante `\(i\)` no estado `\(s\)` no momento `\(t\)` quando SM baixo no estado (resultado potencial não tratado); -- O principal pressuposto subjacente à estimativa de DID é que, **no estado sem tratamento**, o resultado do restaurante `\(i\)` no estado `\(s\)` no momento `\(t\)` é dado por: `$$\mathbb{E}[Y_{ist}^0|s,t] = \gamma_s + \lambda_t$$` Duas suposições implícitas: 1. ***Viés de seleção***: refere-se a características de estado fixo `\((\gamma)\)` 2. ***Tendência temporal***: mesma tendência temporal para grupos tratamento e controle `\((\lambda)\)` --- # Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente Resultados no grupo de comparação: `$$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}$$` -- `$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}$$` -- $$ `\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}|s &= \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] \\ &= \gamma_{PA} + \lambda_{Nov} - (\gamma_{PA} + \lambda_{Fev}) \\ &= \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Fev}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}` $$ -- ➡️ o grupo de comparação permite estimar a ***tendência temporal***. --- # Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente Seja `\(\delta\)` o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo: `$$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta$$` - Efeito causal médio do tratamento nos tratados (**ATT**) -- Resultados no grupo de tratamento: `$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Fev}$$` -- `$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Nov}] = \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov}$$` -- $$ `\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}|s &= \text{Nova Jersey}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] \\ &= \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov} - (\gamma_{NJ} + \lambda_{Feb}) \\ &= \delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}` $$ --- # Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente Portanto nós temos que: $$ `\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}] = \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}` $$ -- $$ `\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{NJ},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{NJ},t = \text{Fev}] = \delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}` $$ -- $$ `\begin{align} DID &= \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}] \\ & \qquad \qquad - \Big(\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]\Big) \\ &= \delta + \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb} - (\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}) \\ &= \delta \end{align}` $$ --- # Testando Tendências Paralelas - Não há maneira de testar tendências pararelas diretamente: `$$\left(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]\right)=\left(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Fev}]\right)$$` - Veja que `\(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}]\)` é um valor **contrafactual**. - Economistas tipicamente utilizam testes de **placebo** (também conhecidos como falsificação) --- # Placebos Pré-Tratamento - O teste placebo mais utilizado é obter observações de um **período anterior** ao próprio período pré-tratamento e utilizá-las no design **como se fossem observações posteriores**. - Se havia tendências paralelas entre os períodos pré-tratamento `\((t_{-1}, t_0)\)`, então não deve aparecer efeito na regressão - Suponha que temos observações de Jan/92: $$ `\begin{align} DID &= \underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]}_{\text{tendência NJ}} \\ & - \Big(\underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]}_{\text{tendência PA}}\Big) \\ &= 0\quad\text{caso sejam tendências paralelas} \end{align}` $$ --- # Estudos de Eventos - Uma generalização para o teste de placebo é analisar os coeficientes de _leads_ de um estudo de eventos. - Ideia básica é: efeito do tratamento antes de sua aplicação deve ser zero entre grupos com tendências paralelas. `$$Y_{ist}=\gamma_s+\lambda_t+\sum_{\tau=-q}^{-1}\gamma_\tau D_{st}+\sum_{\tau=0}^p \delta_\tau D_{st}+\varepsilon_{ist}$$` - Coeficientes `\(\gamma_\tau=0\)` --- # Estudos de Eventos <img src="07_DID_pt_files/figure-html/event-1.svg" height="550" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Leitura Recomendada * GERTLER, Paul J. et al. Avaliação de Impacto na Prática, 2018. - 2. ed. Banco Mundial. Capítulo 7 Diferenças em diferenças * ANGRIST, Joshua D.; PISCHKE, Jörn-Steffen. Mostly harmless econometrics: An empiricist's companion. Princeton university press, 2009. Section 5.2 Differences-in-differences * CUNNINGHAM, Scott. Causal Inference: The Mixtape, New Haven: Yale University Press, 2021. URL: https://mixtape.scunning.com/. Chapter 9 Difference-in-differences --- layout: false class: title-slide-final, middle background-image: url(../../img/logo/UdescEsag.jpeg) background-size: 350px background-position: 9% 19% # ATÉ A PRÓXIMA AULA! <!-- Com a Lista 5 feita! ✅ --> .footnote[ [1]: Este slides foram baseados nas aulas de econometria da [SciencesPo Department of Economics](https://github.com/ScPoEcon/ScPoEconometrics-Slides) ] | | | | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------------------- | | <a href="https://github.com/rfbressan/econometria3_slides">.ScPored[<i class="fa fa-link fa-fw"></i>] | Slides | | <a href="http://github.com/rfbressan">.ScPored[<i class="fa fa-github fa-fw"></i>] | @rfbressan | | <a href="https://raw.githack.com/rfbressan/econometria3_slides/master/lectures/07-DID/lista_V_pt.html">.ScPored[<i class="fa fa-list fa-fw"></i>] | Lista de Exercícios V |