Econometria III
Efeitos Aleatórios e Diferenças-em-Diferenças
Rafael Bressan
Esag 
 2023-10-25
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Estimador Efeitos Aleatórios

Começamos com nosso modelo canônico de painel com heterogeneidade não observada

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Estimador Efeitos Aleatórios

Começamos com nosso modelo canônico de painel com heterogeneidade não observada

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Começamos com nosso modelo canônico de painel com heterogeneidade não observada

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Quando $cov(\alpha_i, x_{it})\neq 0$ , devemos utilizar EF ou PD
Se $cov(\alpha_i, x_{it}) = 0$ , então MQO não é viesado

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Estimador Efeitos Aleatórios

Começamos com nosso modelo canônico de painel com heterogeneidade não observada

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Quando $cov(\alpha_i, x_{it})\neq 0$ , devemos utilizar EF ou PD
Se $cov(\alpha_i, x_{it}) = 0$ , então MQO não é viesado
Por que utilizar EA?

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Estimador Efeitos Aleatórios

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Vejamos o que ocorre com a correlação serial do erro composto $v_{it}=\alpha_i+u_{it}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Vejamos o que ocorre com a correlação serial do erro composto $v_{it}=\alpha_i+u_{it}$

$cov(v_{it}, v_{is})=cov(\alpha_i+u_{it}, \alpha_i+u_{is})=\sigma_\alpha^2\implies corr(v_{it}, v_{is})=\sigma_\alpha^2 / (\sigma_\alpha^2 + \sigma_u^2)$

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Estimador Efeitos Aleatórios

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Vejamos o que ocorre com a correlação serial do erro composto $v_{it}=\alpha_i+u_{it}$

$cov(v_{it}, v_{is})=cov(\alpha_i+u_{it}, \alpha_i+u_{is})=\sigma_\alpha^2\implies corr(v_{it}, v_{is})=\sigma_\alpha^2 / (\sigma_\alpha^2 + \sigma_u^2)$

Heterogeneidade não observada, mesmo quando não relacionada com o regressor $x$ , induz correlação serial no termo de erro!
MQO deixa de ser BLUE 😡

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Estimador Efeitos Aleatórios

$y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{it}+\alpha_i+u_{it}$

Vejamos o que ocorre com a correlação serial do erro composto $v_{it}=\alpha_i+u_{it}$

$cov(v_{it}, v_{is})=cov(\alpha_i+u_{it}, \alpha_i+u_{is})=\sigma_\alpha^2\implies corr(v_{it}, v_{is})=\sigma_\alpha^2 / (\sigma_\alpha^2 + \sigma_u^2)$

Heterogeneidade não observada, mesmo quando não relacionada com o regressor $x$ , induz correlação serial no termo de erro!
MQO deixa de ser BLUE 😡
Estimador de EA será Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) para corrigir esta correlação serial

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Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

$\bar y_{i}=T^{-1}\sum_{t}y_{it}$
Faremos uma centralização parcial na média intragrupo

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Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

$\bar y_{i}=T^{-1}\sum_{t}y_{it}$
Faremos uma centralização parcial na média intragrupo
$y_{it}-\lambda \bar{y}_{i}=\beta_0(1-\lambda)+\beta_1 (x_{it}-\lambda \bar{x}_i)+v_{it}-\lambda\bar{v}_i$
Por enquanto não sabemos o melhor valor para $0\leq\lambda\leq 1$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

$\bar y_{i}=T^{-1}\sum_{t}y_{it}$
Faremos uma centralização parcial na média intragrupo
$y_{it}-\lambda \bar{y}_{i}=\beta_0(1-\lambda)+\beta_1 (x_{it}-\lambda \bar{x}_i)+v_{it}-\lambda\bar{v}_i$
Por enquanto não sabemos o melhor valor para $0\leq\lambda\leq 1$
$\lambda\rightarrow 0 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{MQO}$ e $\lambda\rightarrow 1 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{EF}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

$\bar y_{i}=T^{-1}\sum_{t}y_{it}$
Faremos uma centralização parcial na média intragrupo
$y_{it}-\lambda \bar{y}_{i}=\beta_0(1-\lambda)+\beta_1 (x_{it}-\lambda \bar{x}_i)+v_{it}-\lambda\bar{v}_i$
Por enquanto não sabemos o melhor valor para $0\leq\lambda\leq 1$
$\lambda\rightarrow 0 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{MQO}$ e $\lambda\rightarrow 1 \implies \hat\beta_1^{EA}\rightarrow\hat\beta_1^{EF}$
Se a hipótese de EA for válida, $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$ , então
- $\hat\beta_1^{EA}\rightarrow \beta_1$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de $\lambda$

O valor do ponderador $\lambda$ que eliminará a correlação serial em $v_{it}-\lambda\bar v_i$ será:

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Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de $\lambda$

O valor do ponderador $\lambda$ que eliminará a correlação serial em $v_{it}-\lambda\bar v_i$ será:

$\lambda=1-\left[\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2+T\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de $\lambda$

O valor do ponderador $\lambda$ que eliminará a correlação serial em $v_{it}-\lambda\bar v_i$ será:

$\lambda=1-\left[\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2+T\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$

Na prática não conhecemos $\lambda$ , pois, não observamos as variâncias diretamente
A solução é utilizar um estimador de Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQGF)

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Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de $\lambda$

O valor do ponderador $\lambda$ que eliminará a correlação serial em $v_{it}-\lambda\bar v_i$ será:

$\lambda=1-\left[\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2+T\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$

Na prática não conhecemos $\lambda$ , pois, não observamos as variâncias diretamente
A solução é utilizar um estimador de Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQGF)

$\hat\lambda=1-\left[\frac{\hat\sigma_u^2}{\hat\sigma_u^2+T\hat\sigma_\alpha^2}\right]^{1/2}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

MQO também é não viesado. Usado para estimar $\hat{v}_{it}$ e $\hat\sigma_v^2$

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Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

MQO também é não viesado. Usado para estimar $\hat{v}_{it}$ e $\hat\sigma_v^2$
$\hat\sigma_\alpha^2$ é estimado pela covariância entre $\hat{v}_{it}$ e $\hat{v}_{is}$ , com $t\neq s$

$\hat\sigma_\alpha^2=\frac{1}{NT(T-1)/2 - 2}\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^{T-1}\sum_{s=t+1}^T\hat{v}_{it}\hat{v}_{is}$

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Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

MQO também é não viesado. Usado para estimar $\hat{v}_{it}$ e $\hat\sigma_v^2$
$\hat\sigma_\alpha^2$ é estimado pela covariância entre $\hat{v}_{it}$ e $\hat{v}_{is}$ , com $t\neq s$

$\hat\sigma_\alpha^2=\frac{1}{NT(T-1)/2 - 2}\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^{T-1}\sum_{s=t+1}^T\hat{v}_{it}\hat{v}_{is}$

E $\hat\sigma_u^2$ é estimado pela diferença

$\hat\sigma_u^2=\hat\sigma_v^2 - \hat\sigma_\alpha^2$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Principal hipótese de EA é $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$

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Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Principal hipótese de EA é $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Hipótese muito restritiva. Equivalente a MQO.

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Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Principal hipótese de EA é $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Hipótese muito restritiva. Equivalente a MQO.
Deve ser encarada como exceção e não regra

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Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Principal hipótese de EA é $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Hipótese muito restritiva. Equivalente a MQO.
Deve ser encarada como exceção e não regra
Usa-se painel geralmente para explorar heterogeneidade não observada que está correlacionada com os regressores

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Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Principal hipótese de EA é $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Hipótese muito restritiva. Equivalente a MQO.
Deve ser encarada como exceção e não regra
Usa-se painel geralmente para explorar heterogeneidade não observada que está correlacionada com os regressores
Somente usado se podemos plausivelmente presumir que $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$ . Caso contrário, EF é preferível

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Estimador Efeitos Aleatórios

EA ou EF?

O principal ponto a ser considerado em escolher um modelo de Efeito Fixo ou Efeito Aleatório é a plausibilidade da hipótese $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Quando a hipótese é verdadeira, ambos os estimadores são consistentes
Se $cov(x_{it}, \alpha_i) \neq 0$ , então apenas EF é consistente

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Estimador Efeitos Aleatórios

EA ou EF?

O principal ponto a ser considerado em escolher um modelo de Efeito Fixo ou Efeito Aleatório é a plausibilidade da hipótese $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$
Quando a hipótese é verdadeira, ambos os estimadores são consistentes
Se $cov(x_{it}, \alpha_i) \neq 0$ , então apenas EF é consistente
Ideia de Hausman: testamos $cov(x_{it}, \alpha_i) = 0$ indiretamente ao testarmos $\hat\beta_1^{EA}-\hat\beta_1^{EF}=0$
Uma rejeição da $H_0$ $(\text{i.e. }\hat\beta_1^{EA}\neq\hat\beta_1^{EF})$ implica na escolha do modelo de EF

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Hoje: Diferenças-em-diferenças

Explora mudanças ao longo do tempo que não afetam a todos
Necessidade de encontrar (ou construir) grupo de controle apropriado
Suposição chave: tendências paralelas
Aplicação empírica: impacto do salário mínimo no emprego. Card e Krueger (1994)
Design de inferência causal mais amplamente utilizado em econometria aplicada

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Métodos de avaliação

A regressão múltipla geralmente não fornece estimativas causais por causa da seleção em não observáveis (e.g. viés de variável omitida).

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Métodos de avaliação

A regressão múltipla geralmente não fornece estimativas causais por causa da seleção em não observáveis (e.g. viés de variável omitida).
Experimentos RCTs são uma maneira de resolver este problema, mas muitas vezes são impossíveis de fazer.

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Métodos de avaliação

A regressão múltipla geralmente não fornece estimativas causais por causa da seleção em não observáveis (e.g. viés de variável omitida).
Experimentos RCTs são uma maneira de resolver este problema, mas muitas vezes são impossíveis de fazer.
Quatro principais métodos de avaliação causal usados em economia:
- variáveis instrumentais (VI),
- pareamento por escore de propensão (Propensity Score Matching),
- regressão em descontinuidade (RDD)
- diferenças-em-diferenças (DID), e
- bunching chegou atrasado 🕰

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Métodos de avaliação

A regressão múltipla geralmente não fornece estimativas causais por causa da seleção em não observáveis (e.g. viés de variável omitida).
Experimentos RCTs são uma maneira de resolver este problema, mas muitas vezes são impossíveis de fazer.
Quatro principais métodos de avaliação causal usados em economia:
- variáveis instrumentais (VI),
- pareamento por escore de propensão (Propensity Score Matching),
- regressão em descontinuidade (RDD)
- diferenças-em-diferenças (DID), e
- bunching chegou atrasado 🕰
Esses métodos são usados para identificar relações causais entre tratamentos e resultados.

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento.

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento.
2 grupos:

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento.
2 grupos:
- grupo controle: nunca recebe tratamento,

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento.
2 grupos:
- grupo controle: nunca recebe tratamento,
- grupo de tratamento: inicialmente não tratado e depois totalmente tratado.

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Diferenças em Diferenças (DID)

⚠️ indivíduos não são alocados aleatoriamente ao tratamento

Requisitos do DID canônico:

2 períodos de tempo: antes e depois do tratamento.
2 grupos:
- grupo controle: nunca recebe tratamento,
- grupo de tratamento: inicialmente não tratado e depois totalmente tratado.
Sob certas suposições, o grupo de controle pode ser usado como contrafactual para o grupo de tratamento

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Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

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Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Imagine que você está interessado em avaliar o impacto causal do aumento do salário mínimo no (des)emprego.

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Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Imagine que você está interessado em avaliar o impacto causal do aumento do salário mínimo no (des)emprego.
Por que isso não é tão simples? Qual deve ser o grupo de controle?

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Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Imagine que você está interessado em avaliar o impacto causal do aumento do salário mínimo no (des)emprego.
Por que isso não é tão simples? Qual deve ser o grupo de controle?
Paper seminal em 1994 pelos proeminentes economistas trabalhistas David Card e Alan Krueger intitulado "Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania"

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Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Imagine que você está interessado em avaliar o impacto causal do aumento do salário mínimo no (des)emprego.
Por que isso não é tão simples? Qual deve ser o grupo de controle?
Paper seminal em 1994 pelos proeminentes economistas trabalhistas David Card e Alan Krueger intitulado "Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania"
Estima o efeito de um aumento do salário mínimo sobre a taxa de emprego na indústria de fast-food. Por que essa indústria?

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Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele.

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Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele.
1º de abril de 1992: o salário mínimo de Nova Jersey aumenta de US$ 4,25 para US$ 5,05 por hora.

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Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele.
1º de abril de 1992: o salário mínimo de Nova Jersey aumenta de US$ 4,25 para US$ 5,05 por hora.
A vizinha Pensilvânia não mudou seu nível de salário mínimo.

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Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele.
1º de abril de 1992: o salário mínimo de Nova Jersey aumenta de US$ 4,25 para US$ 5,05 por hora.
A vizinha Pensilvânia não mudou seu nível de salário mínimo.

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Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Nos EUA, existe um salário mínimo nacional, mas os estados podem divergir dele.
1º de abril de 1992: o salário mínimo de Nova Jersey aumenta de US$ 4,25 para US$ 5,05 por hora.
A vizinha Pensilvânia não mudou seu nível de salário mínimo.

Pensilvânia e Nova Jersey são muito semelhantes: instituições semelhantes, hábitos semelhantes, consumidores semelhantes, renda semelhante, clima semelhante, etc.

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:
- Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:
- Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992
- Levantamento após aumento de SM de NJ: Nov/Dez 1992

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:
- Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992
- Levantamento após aumento de SM de NJ: Nov/Dez 1992
Que comparações você acha que eles fizeram?

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:
- Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992
- Levantamento após aumento de SM de NJ: Nov/Dez 1992
Que comparações você acha que eles fizeram?

Vamos dar uma olhada nos dados

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Card e Krueger (1994)

Metodologia

Pesquisados 410 estabelecimentos de fast-food em Nova Jersey (NJ) e leste da Pensilvânia
Tempo:
- Levantamento antes do aumento de SM de NJ: fevereiro/março de 1992
- Levantamento após aumento de SM de NJ: Nov/Dez 1992
Que comparações você acha que eles fizeram?

Vamos dar uma olhada nos dados

## # A tibble: 6 × 6
##   sheet chain  state        observation   empft emppt
##   <chr> <chr>  <chr>        <chr>         <dbl> <dbl>
## 1 46    bk     Pennsylvania February 1992  30    15  
## 2 49    kfc    Pennsylvania February 1992   6.5   6.5
## 3 506   kfc    Pennsylvania February 1992   3     7  
## 4 56    wendys Pennsylvania February 1992  20    20  
## 5 61    wendys Pennsylvania February 1992   6    26  
## 6 62    wendys Pennsylvania February 1992   0    31

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Card e Krueger (1994)

Resultados

Emprego médio por loja antes e depois do aumento do salário mínimo de NJ

Variáveis	Pensilvania	Nova Jersey
emprego FTE antes	23.33	20.44
emprego FTE depois	21.17	21.03
Mudança na média emprego FTE	-2.17	0.59

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Card e Krueger (1994)

Resultados

Emprego médio por loja antes e depois do aumento do salário mínimo de NJ

Variáveis	Pensilvania	Nova Jersey
emprego FTE antes	23.33	20.44
emprego FTE depois	21.17	21.03
Mudança na média emprego FTE	-2.17	0.59

Estimativa de DID

Estimativa causal de diferenças em diferenças: $0,59 - (-2,17) = 2,76$

Interpretação: o aumento do salário mínimo levou a um aumento no emprego FTE por loja de 2,76 em média.

Sim, a essência das diferenças-em-diferenças é assim simples! 😀

Vejamos esses resultados graficamente.

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DID graficamente

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DID graficamente

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DID graficamente

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DID graficamente

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DID graficamente

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DID graficamente

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Comparação ingênua depois/antes?

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Comparação ingênua depois/antes?

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Comparação simples NJ/PA?

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Comparação simples NJ/PA?

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Estimação28 / 52

DID em Forma de Regressão

Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)
Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

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DID em Forma de Regressão

Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)
Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

3 ingredientes:

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DID em Forma de Regressão

Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)
Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

3 ingredientes:

Variável dummy de tratamento: $TREAT_s$ onde o subscrito $s$ nos lembra que o tratamento está no nível do estado

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DID em Forma de Regressão

Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)
Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

3 ingredientes:

Variável dummy de tratamento: $TREAT_s$ onde o subscrito $s$ nos lembra que o tratamento está no nível do estado
Variável dummy dos períodos de pós-tratamento: $POST_t$ onde o subscrito $t$ nos lembra que esta variável varia ao longo do tempo

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DID em Forma de Regressão

Na prática, o DID é geralmente estimado em mais de 2 períodos (4 observações)
Há mais pontos de dados antes e depois da alteração da política

3 ingredientes:

Variável dummy de tratamento: $TREAT_s$ onde o subscrito $s$ nos lembra que o tratamento está no nível do estado
Variável dummy dos períodos de pós-tratamento: $POST_t$ onde o subscrito $t$ nos lembra que esta variável varia ao longo do tempo
Termo de interação entre os dois: $TREAT_s \times POST_t$ 👉 o coeficiente neste termo é o efeito causal DID!

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DID em Forma de Regressão

Variável dummy de tratamento $TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases}$

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DID em Forma de Regressão

Variável dummy de tratamento $TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases}$

Variável dummy pós-tratamento $POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } t < \text{1º abril, 1992} \\ 1 \quad \text{se } t \geq \text{1º abril, 1992} \end{array}\end{cases}$

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DID em Forma de Regressão

Variável dummy de tratamento $TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases}$

Variável dummy pós-tratamento $POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } t < \text{1º abril, 1992} \\ 1 \quad \text{se } t \geq \text{1º abril, 1992} \end{array}\end{cases}$

Quais observações correspondem a $TREAT_s \times POST_t = 1$ ?

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DID em Forma de Regressão

Variável dummy de tratamento $TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } s = \text{Pensilvânia} \\ 1 \quad \text{se } s = \text{Nova Jersey} \end{array}\end{cases}$

Variável dummy pós-tratamento $POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl} 0 \quad \text{se } t < \text{1º abril, 1992} \\ 1 \quad \text{se } t \geq \text{1º abril, 1992} \end{array}\end{cases}$

Quais observações correspondem a $TREAT_s \times POST_t = 1$ ?

Vamos juntar todos esses ingredientes: $EMP_{st} = \alpha + \beta TREAT_s + \gamma POST_t + \delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

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Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

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Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

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Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

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Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}$

31 / 52

Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}$

31 / 52

Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\tag{4}$

31 / 52

Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\tag{4}$

$\left[(4)-(3)\right]-\left[(2)-(1)\right] = \color{#d90502}\delta$

31 / 52

Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Temos o seguinte:

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha \tag{1}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma\tag{2}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta\tag{3}$

$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta\tag{4}$

$\left[(4)-(3)\right]-\left[(2)-(1)\right] = \color{#d90502}\delta$ $\color{#d90502}\delta$ : efeito causal do aumento do salário mínimo sobre o emprego

31 / 52

Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Em formato de tabela:

	Pré	Pós	$\Delta$ (Pós - Pré)
Pensilvânia (PA)	$\color{#d96502}\alpha$	$\color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma$	$\color{#02AB0D}\gamma$
Nova Jersey (NJ)	$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta$	$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$	$\color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$
$\Delta$ (NJ - PA)	$\color{#027D83}\beta$	$\color{#027D83}\beta + \color{#d90502}\delta$	$\color{#d90502}\delta$

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Compreendendo a Regressão

$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$

Em formato de tabela:

	Pré	Pós	$\Delta$ (Pós - Pré)
Pensilvânia (PA)	$\color{#d96502}\alpha$	$\color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma$	$\color{#02AB0D}\gamma$
Nova Jersey (NJ)	$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta$	$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$	$\color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$
$\Delta$ (NJ - PA)	$\color{#027D83}\beta$	$\color{#027D83}\beta + \color{#d90502}\delta$	$\color{#d90502}\delta$

Esta tabela generaliza para outras configurações substituindo Pensilvânia por Controle e Nova Jersey por Tratamento

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Identifying Assumptions33 / 52

Hipótese Crucial DID

Tendências Paralelas

Hipótese de tendências comuns ou paralelas: sem qualquer aumento do salário mínimo, a tendência de emprego de fast-food na Pensilvânia teria sido o que deveríamos esperar ver em Nova Jersey.

34 / 52

Hipótese Crucial DID

Tendências Paralelas

Hipótese de tendências comuns ou paralelas: sem qualquer aumento do salário mínimo, a tendência de emprego de fast-food na Pensilvânia teria sido o que deveríamos esperar ver em Nova Jersey.

Esta hipótese afirma que a tendência de emprego de fast-food da Pensilvânia entre fevereiro e novembro de 1992 fornece uma tendência confiável de emprego contrafactual que a indústria de fast-food de Nova Jersey teria experimentado caso não tivesse aumentado seu salário mínimo.

34 / 52

Hipótese Crucial DID

Tendências Paralelas

Hipótese de tendências comuns ou paralelas: sem qualquer aumento do salário mínimo, a tendência de emprego de fast-food na Pensilvânia teria sido o que deveríamos esperar ver em Nova Jersey.

Esta hipótese afirma que a tendência de emprego de fast-food da Pensilvânia entre fevereiro e novembro de 1992 fornece uma tendência confiável de emprego contrafactual que a indústria de fast-food de Nova Jersey teria experimentado caso não tivesse aumentado seu salário mínimo.
Impossível validar ou invalidar completamente esta hipótese (não-testável).
Verificação intuitiva: comparar tendências antes da mudança de política e boa argumentação da comparabilidade dos grupos

34 / 52

Tendências Paralelas: Graficamente

35 / 52

Verificando a hipótese de tendências paralelas

36 / 52

Verificando a hipótese de tendências paralelas

37 / 52

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Verificada ✅

38 / 52

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Verificada ✅

39 / 52

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Não verificada ❌

40 / 52

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Não verificada ❌

41 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: Card and Krueger (2000)

Aqui estão as tendências reais para a Pensilvânia e Nova Jersey

42 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: Card and Krueger (2000)

Aqui estão as tendências reais para a Pensilvânia e Nova Jersey

É provável que a hipótese de tendência comum seja verificada?

42 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

$Y_{ist}^1$ : emprego no restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ quando SM estadual alto (resultado potencial tratado);

43 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

$Y_{ist}^1$ : emprego no restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ quando SM estadual alto (resultado potencial tratado);
$Y_{ist}^0$ : emprego no restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ quando SM baixo no estado (resultado potencial não tratado);

43 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

$Y_{ist}^1$ : emprego no restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ quando SM estadual alto (resultado potencial tratado);
$Y_{ist}^0$ : emprego no restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ quando SM baixo no estado (resultado potencial não tratado);

O principal pressuposto subjacente à estimativa de DID é que, no estado sem tratamento, o resultado do restaurante $i$ no estado $s$ no momento $t$ é dado por:

$\mathbb{E}[Y_{ist}^0|s,t] = \gamma_s + \lambda_t$

Duas suposições implícitas:

Viés de seleção: refere-se a características de estado fixo $(\gamma)$
Tendência temporal: mesma tendência temporal para grupos tratamento e controle $(\lambda)$

43 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Resultados no grupo de comparação:

$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}$

44 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Resultados no grupo de comparação:

$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}$ $\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}$

44 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Resultados no grupo de comparação:

$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}$ $\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}$

$\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}|s &= \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] \\ &= \gamma_{PA} + \lambda_{Nov} - (\gamma_{PA} + \lambda_{Fev}) \\ &= \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Fev}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}$

44 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Resultados no grupo de comparação:

$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pensilvânia},t = \text{Fev}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Fev}$ $\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pensilvânia},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}$

➡️ o grupo de comparação permite estimar a tendência temporal.

44 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Seja $\delta$ o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo:

$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta$

Efeito causal médio do tratamento nos tratados (ATT)

45 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Seja $\delta$ o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo:

$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta$

Efeito causal médio do tratamento nos tratados (ATT)

Resultados no grupo de tratamento:

$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Fev}$

45 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Seja $\delta$ o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo:

$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta$

Efeito causal médio do tratamento nos tratados (ATT)

Resultados no grupo de tratamento:

$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Fev}$ $\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Nov}] = \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov}$

45 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Seja $\delta$ o verdadeiro impacto do aumento do salário mínimo:

$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s=\text{Nova Jersey},t=\text{Nov}] := \delta$

Efeito causal médio do tratamento nos tratados (ATT)

Resultados no grupo de tratamento:

$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Fev}$ $\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Nov}] = \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov}$ $\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}|s &= \text{Nova Jersey}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Nova Jersey}, t = \text{Fev}] \\ &= \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov} - (\gamma_{NJ} + \lambda_{Feb}) \\ &= \delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}$

45 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Portanto nós temos que:

$\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}] = \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}$

46 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Portanto nós temos que:

$\begin{align} \mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{NJ},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{NJ},t = \text{Fev}] = \delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{tendência temporal}} \end{align}$

46 / 52

Hipótese de Tendências Paralelas: formalmente

Portanto nós temos que:

$\begin{align} DID &= \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}] \\ & \qquad \qquad - \Big(\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]\Big) \\ &= \delta + \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb} - (\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}) \\ &= \delta \end{align}$

46 / 52

Testando Tendências Paralelas

Não há maneira de testar tendências pararelas diretamente: $\left(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]\right)=\left(\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{PA}, t = \text{Fev}]\right)$

Veja que $\mathbb{E}[Y^0_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}]$ é um valor contrafactual.
Economistas tipicamente utilizam testes de placebo (também conhecidos como falsificação)

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Placebos Pré-Tratamento

O teste placebo mais utilizado é obter observações de um período anterior ao próprio período pré-tratamento e utilizá-las no design como se fossem observações posteriores.
Se havia tendências paralelas entre os períodos pré-tratamento $(t_{-1}, t_0)$ , então não deve aparecer efeito na regressão
Suponha que temos observações de Jan/92:

$\begin{align} DID &= \underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Fev}]}_{\text{tendência NJ}} \\ & - \Big(\underbrace{\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Jan}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Fev}]}_{\text{tendência PA}}\Big) \\ &= 0\quad\text{caso sejam tendências paralelas} \end{align}$

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Estudos de Eventos

Uma generalização para o teste de placebo é analisar os coeficientes de leads de um estudo de eventos.
Ideia básica é: efeito do tratamento antes de sua aplicação deve ser zero entre grupos com tendências paralelas.

$Y_{ist}=\gamma_s+\lambda_t+\sum_{\tau=-q}^{-1}\gamma_\tau D_{st}+\sum_{\tau=0}^p \delta_\tau D_{st}+\varepsilon_{ist}$

Coeficientes $\gamma_\tau=0$

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Estudos de Eventos

50 / 52

Leitura Recomendada

GERTLER, Paul J. et al. Avaliação de Impacto na Prática, 2018. - 2. ed. Banco Mundial. Capítulo 7 Diferenças em diferenças
ANGRIST, Joshua D.; PISCHKE, Jörn-Steffen. Mostly harmless econometrics: An empiricist's companion. Princeton university press, 2009. Section 5.2 Differences-in-differences
CUNNINGHAM, Scott. Causal Inference: The Mixtape, New Haven: Yale University Press, 2021. URL: https://mixtape.scunning.com/. Chapter 9 Difference-in-differences

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ATÉ A PRÓXIMA AULA!

[1]: Este slides foram baseados nas aulas de econometria da SciencesPo Department of Economics


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	@rfbressan
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Econometria III

Efeitos Aleatórios e Diferenças-em-Diferenças

Rafael Bressan

Esag 2023-10-25

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

Estimador Efeitos Aleatórios

Como funciona?

Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de λ\lambda

Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de λ\lambda

Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de λ\lambda

Estimador Efeitos Aleatórios

Melhor valor de λ\lambda

Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

Estimador Efeitos Aleatórios

MQGF

Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Estimador Efeitos Aleatórios

Limitações

Estimador Efeitos Aleatórios

EA ou EF?

Estimador Efeitos Aleatórios

EA ou EF?

Hoje: Diferenças-em-diferenças

Métodos de avaliação

Métodos de avaliação

Métodos de avaliação

Métodos de avaliação

Diferenças em Diferenças (DID)

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Requisitos do DID canônico:

Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Diferenças em Diferenças (DID)

Exemplo: Salário Mínimo e Emprego

Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Card e Krueger (1994)

Detalhes Institucionais

Esag
2023-10-25

Melhor valor de $\lambda$

Melhor valor de $\lambda$

Melhor valor de $\lambda$

Melhor valor de $\lambda$

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Verificada ✅

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Verificada ✅

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Não verificada ❌

Hipótese de tendências paralelas $\rightarrow$ Não verificada ❌