Aula de laboratório - Modelos de Equações Simultâneas

Autor

Rafael Bressan

Data de Publicação

6 de setembro de 2023

Introdução

Vamos utilizar a seguinte notação geral para um SEM (Simultaneous Equations Model) composto de \(q\) variáveis endógenas \(y_1, \ldots, y_q\) e \(k\) variáveis exógenas \(x_1, \ldots, x_k\).

\[ \begin{align*} y_1&=\alpha_{12}y_2+\ldots +\alpha_{1q}y_q + \beta_{10}+\beta_{11}x_1+\ldots+\beta_{1k}x_k+u_1\\ y_2&=\alpha_{21}y_1+\ldots +\alpha_{2q}y_q + \beta_{20}+\beta_{21}x_1+\ldots+\beta_{2k}x_k+u_2\\ \vdots & \\ y_q&=\alpha_{q1}y_1+\ldots +\alpha_{qq-1}y_{q-1} + \beta_{q0}+\beta_{q1}x_1+\ldots+\beta_{qk}x_k+u_q \end{align*} \]

A condição de ordem para identificação de alguma destas equações é tal que o número de variáveis exógenas (ou predeterminadas) excluídas da equação não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1, \(K – k \geq m – 1\).

Conseguida a identificação da equação, os regressores exógenos excluídos servirão de variáveis instrumentais na estimação através de MQ2E.

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Vimos em aula como estimar esta equação de oferta separadamente usando MQ2E.

\[ \begin{align*} hours&=\alpha_1 lwage + \beta_{10}+ \beta_{11}educ+\beta_{12}age+\beta_{13}kidslt6+\beta_{14}nwifeinc+u_1\\ lwage&=\alpha_2 hours + \beta_{20}+ \beta_{21}educ+ \beta_{22}exper+\beta_{23}exper^2+ u_2 \end{align*} \]

Qual ou quais destas equações são identificadas?

Vamos então estimar as duas equações de forma conjunta, ambas através de MQ2E utilizando o pacote systemfit.

library(systemfit)
library(wooldridge)

data("mroz")

df <- mroz[!is.na(mroz$wage), ]

# Definindo o sistema de equações e os instrumentos
eq.hrs <- hours ~ lwage + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
eq.wage <- lwage ~ hours + educ + exper + expersq
eq.system <- list(eq.hrs, eq.wage)
inst <- ~ educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq

# Estimando por MQ2E todas as equações conjuntamente
mq2e <- systemfit(eq.system, inst = inst, data = df, method = "2SLS")
summary(mq2e)


systemfit results 
method: 2SLS 

         N  DF       SSR detRCov   OLS-R2 McElroy-R2
system 856 845 773893318  155089 -2.00762   0.748802

      N  DF         SSR         MSE        RMSE        R2    Adj R2
eq1 428 422 7.73893e+08 1.83387e+06 1354.204549 -2.007617 -2.043253
eq2 428 423 1.95266e+02 4.61621e-01    0.679427  0.125654  0.117385

The covariance matrix of the residuals
            eq1         eq2
eq1 1833869.960 -831.542683
eq2    -831.543    0.461621

The correlations of the residuals
          eq1       eq2
eq1  1.000000 -0.903769
eq2 -0.903769  1.000000


2SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
Model Formula: hours ~ lwage + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq

              Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept) 2225.66187  574.56413  3.87365 0.00012424 ***
lwage       1639.55563  470.57569  3.48415 0.00054535 ***
educ        -183.75128   59.09981 -3.10917 0.00200323 ** 
age           -7.80609    9.37801 -0.83238 0.40566400    
kidslt6     -198.15431  182.92914 -1.08323 0.27932494    
nwifeinc     -10.16959    6.61474 -1.53741 0.12494168    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1354.204549 on 422 degrees of freedom
Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 422 
SSR: 773893123.128241 MSE: 1833869.96002 Root MSE: 1354.204549 
Multiple R-Squared: -2.007617 Adjusted R-Squared: -2.043253 


2SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
Model Formula: lwage ~ hours + educ + exper + expersq
Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq

                Estimate   Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.655725423  0.337788290 -1.94123   0.052894 .  
hours        0.000125900  0.000254611  0.49448   0.621223    
educ         0.110330004  0.015524358  7.10690 5.0768e-12 ***
exper        0.034582356  0.019491555  1.77422   0.076746 .  
expersq     -0.000705769  0.000454080 -1.55428   0.120865    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.679427 on 423 degrees of freedom
Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 423 
SSR: 195.265558 MSE: 0.461621 Root MSE: 0.679427 
Multiple R-Squared: 0.125654 Adjusted R-Squared: 0.117385

Um resultado interessante que foi apresentado é a matriz de correlação dos resíduos. Os resíduos das duas equações são fortemente correlacionados de forma negativa. O método de estimação de Mínimos Quadrados em 3 Estágios (MQ3E) pode ser utilizado para levar em consideração esta correlação e obter um estimador mais eficiente que o MQ2E.

Usar MQ3E com o systemfit é tão fácil quanto simplesmente trocar o argumento “method” da função.

Estimando por MQ2E todas as equações conjuntamente

mq3e <- systemfit(eq.system, inst = inst, data = df, method = "3SLS")
summary(mq3e)


systemfit results 
method: 3SLS 

         N  DF       SSR detRCov   OLS-R2 McElroy-R2
system 856 845 873749828  102713 -2.39569     0.8498

      N  DF         SSR         MSE        RMSE        R2   Adj R2
eq1 428 422 8.73750e+08 2.07050e+06 1438.922077 -2.395695 -2.43593
eq2 428 423 2.02143e+02 4.77879e-01    0.691288  0.094859  0.08630

The covariance matrix of the residuals used for estimation
            eq1         eq2
eq1 1833869.960 -831.542683
eq2    -831.543    0.461621

The covariance matrix of the residuals
            eq1         eq2
eq1 2070496.744 -941.665424
eq2    -941.665    0.477879

The correlations of the residuals
          eq1       eq2
eq1  1.000000 -0.946674
eq2 -0.946674  1.000000


3SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
Model Formula: hours ~ lwage + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq

               Estimate  Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept) 2305.857523  511.540693  4.50767 8.5013e-06 ***
lwage       1781.933421  439.884247  4.05091 6.0726e-05 ***
educ        -212.819503   53.727045 -3.96112 8.7558e-05 ***
age           -9.514998    7.960948 -1.19521    0.23268    
kidslt6     -192.359072  150.917508 -1.27460    0.20315    
nwifeinc      -0.176983    3.583623 -0.04939    0.96063    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1438.922077 on 422 degrees of freedom
Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 422 
SSR: 873749625.779235 MSE: 2070496.743553 Root MSE: 1438.922077 
Multiple R-Squared: -2.395695 Adjusted R-Squared: -2.435928 


3SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
Model Formula: lwage ~ hours + educ + exper + expersq
Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq

                Estimate   Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.693920325  0.335995508 -2.06527   0.039506 *  
hours        0.000190868  0.000247652  0.77071   0.441308    
educ         0.112738574  0.015368872  7.33551 1.1364e-12 ***
exper        0.021428535  0.015383608  1.39295   0.164368    
expersq     -0.000302959  0.000268028 -1.13033   0.258978    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.691288 on 423 degrees of freedom
Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 423 
SSR: 202.142832 MSE: 0.477879 Root MSE: 0.691288 
Multiple R-Squared: 0.094859 Adjusted R-Squared: 0.0863