PRIMJENJENA STATISTIKA

class: center, middle, inverse, title-slide

# PRIMJENJENA STATISTIKA
## Predavanje 7: Statistička teorija - testiranje hipoteza
### Luka Sikic, PhD
### Fakultet hrvatskih studija | <a href="https://github.com/BrbanMiro/WebStatistika">Github PS</a>

---

class: inverse, middle
# PREGLED PREDAVANJA

---
layout: true
# PREGLED PREDAVANJA
---
<br>

## CILJEVI

- Ključni koncepti
- Vrste pogrešaka
- Testna statistika i sampling distribucija
- Kritičke vrijednosti i granice
- p-vrijednosti
- Interpretacija rezultata
- Testiranje hipoteza u R
- Efekt veličine, i snaga testa
- Dodatni koncepti
- Intervali pouzdanosti

---

layout:false
class: middle, inverse
# KLJUČNI KONCEPTI 
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Terminologija!)
---

layout:true
# KLJUČNI KONCEPTI

---
<br>
<br>

- Istraživačke hipoteze
<br>
- Statističke hipoteze
<br>
- Nulta i alternativna hipoteza

---

layout:false
class: middle, inverse
# VRSTE POGREŠAKA KOD TESTIRANJA HIPOTEZA
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Error I vs Error II)
---

layout:true
# VRSTE POGREŠAKA KOD TESTIRANJA HIPOTEZA
---

.hi[Pogreške kod testiranja hipoteza]

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">  </th>
   <th style="text-align:left;"> zadrži `$H_0$` </th>
   <th style="text-align:left;"> odbaci `$H_0$` </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$H_0$` je točna: </td>
   <td style="text-align:left;"> ispravna odluka </td>
   <td style="text-align:left;"> greška (tip I) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$H_0$` nije točna: </td>
   <td style="text-align:left;"> greška (tip II) </td>
   <td style="text-align:left;"> ispravna odluka </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

.hi[Razine signifikantnosti]

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">  </th>
   <th style="text-align:left;"> zadrži `$H_0$` </th>
   <th style="text-align:left;"> odbaci `$H_0$` </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$H_0$` je točna: </td>
   <td style="text-align:left;"> `$1-\alpha$` (vjerojatnost zadržavanja točne hipoteze) </td>
   <td style="text-align:left;"> `$\alpha$` (tip I pogreške) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$H_0$` nije točna: </td>
   <td style="text-align:left;"> `$\beta$` (tip II pogreške) </td>
   <td style="text-align:left;"> `$1-\beta$`  (snaga testa) </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

layout:false
class: middle, inverse
# TESTNA STATISTIKA I SAMPLING DISTRIBUCIJA
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Osnova za odluku.)
---

layout:true
# TESTNA STATISTIKA I SAMPLING DISTRIBUCIJA
---

.hi[Testna statistika(primjer)]

`$X \sim \mbox{Binomial}(\theta,N)$`

.hi[Sampling distribucija testne statistike]

```r
	# Distribucija
	x <- 0:100
	y <- dbinom(x,100,.5)
	
	# Vizualizacija
	plot(x,y,type="h",lwd=3, col=ifelse(colour,emphCol,"black"),
		xlab="Broj točnih odgovora (X)", ylab="Vjerojatnost",
		main="Sampling distribucija za X kada je nulta hipoteza točna",
		font.main=1, frame.plot=FALSE
	)
```

---

.hi[Sampling distribucija testne statistike]

.footnote[[*] Sampling distribucija testne statistike `$X$` kad je nulta hipoteza istinita. U našem prmjeru je riječ o binomnoj distribuciji. Pod nultom hipotezom je vjerojatnost `$theta = .5$`, pa sampling distribucija implicira vrijednost 50 (od 100) točnih odgovora. Većina mase vjerojatnosti se nalazi izmedju vrijednosti 40 i 60.]

---

layout:false
class: middle, inverse
# KRITIČKE VRIJEDNOSTI I GRANICE
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Kriterij za odluku.)
---

layout:true
# KRITIČKE VRIJEDNOSTI I GRANICE
---

.hi[Kritičke vrijednosti za dvostrani test]

.footnote[[*] Kritičke vrijednosti vezane uz hipotezu testa ESP istraživanja, za test sa razinama signifikantnosti `alpha = .05`. Grafikon prikazuje sampling distribuciju `X` pod nultom hipotezom: prostor u sredini odgovara vrijednostima sampling distribucije za `X` za koje bismo zadržali nultu hipotezu.Stupci se odnose na kritičke vrijednosti: vrijednosti `X` za koje bismo odbacili nultu hipotezu.]

---

.hi[Kritičke vrijednosti za jednostrani test]

.footnote[[*] Kritička regija za jednostrani test. U ovom slučaju je alternativna hipoteza `theta > .05`, tako da nultu hipotezu odbacujemo samo za velike vrijednosti `X`. Zbog toga kritička regija pokriva samo gornji dio distribucije; točnije 5% distribucije.]

---

layout:false
class: middle, inverse
#p-VRIJEDNOSTI
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Kriterij za odluku.)
---

layout:true
# p-VRIJEDNOSTI
---

.hi[**Neyman**(granice prihvaćanja/odbacivanja)]

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> Vrijednost alpha </th>
   <th style="text-align:left;"> Odbaci nultu hipotezu? </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.05 </td>
   <td style="text-align:left;"> Da </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
   <td style="text-align:left;"> Da </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:left;"> Da </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ne </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ne </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

.hi[**Fisher** (vjerojatnost ekstremnih podataka i.e. vrijednosti)]

---

.hi[Izvještavanje o rezultatima testa]

<table>
<caption></caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Notacija </th>
   <th style="text-align:left;"> Zvjezdice </th>
   <th style="text-align:left;"> Značajnost </th>
   <th style="text-align:left;"> Nulta hipoteza </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$p&gt;.05$` </td>
   <td style="text-align:left;"> NA </td>
   <td style="text-align:left;"> Test nije značajan </td>
   <td style="text-align:left;"> Zadrži </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$p&lt;.05$` </td>
   <td style="text-align:left;"> * </td>
   <td style="text-align:left;"> Test značajan na razini alpha = .05 ali ne alpha =.01 niti alpha = .001 </td>
   <td style="text-align:left;"> Odbaci </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$p&lt;.01$` </td>
   <td style="text-align:left;"> ** </td>
   <td style="text-align:left;"> Test značajan na razini alpha = .05  i alpha = .01 ali ne alpha = .001 </td>
   <td style="text-align:left;"> Odbaci </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> `$p&lt;.001$` </td>
   <td style="text-align:left;"> *** </td>
   <td style="text-align:left;"> Test značajan na svim razinama </td>
   <td style="text-align:left;"> Odbaci </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

.footnote[[*] Standardne konvencije za prihvaćanje `p `vrijednosti: konvencija je prikazati rezultate na jedan od navedenih načina (e.g., `p<.05`). Prikazane "zvjezdice značajnosti" (i.e.,  označava `p<.05`) su često output u statističkim programima. Nekada se sreće notacija n.s. (not significant) umjesto `p>.05`.]

---

layout:false
class: middle, inverse
# TESTIRANJE HIPOTEZA U R
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Jednostavno!)
---

layout:true
# TESTIRANJE HIPOTEZA U R
---

.hi[Provedi test]

```r
# provedi testiranje hipoteza ESP istraživanja za 62 točna odgovora
binom.test( x=62, n=100, p=.5 )
```

```
#> 
#> 	Exact binomial test
#> 
#> data:  62 and 100
#> number of successes = 62, number of trials = 100, p-value = 0.02098
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.5174607 0.7152325
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                   0.62
```

---

layout:false
class: middle, inverse
# EFEKT VELIČINE I SNAGA TESTA
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Uvjerljivost testa!)
---

layout:true
# EFEKT VELIČINE I SNAGA TESTA
---

.hi[Sampling distribucije za različite vrijednosti `X`]

.footnote[[*] Sampling distribucija pod "alternativnom" hipotezom, za populacijski parametar `theta = 0.55`. Značajan dio populacije leži u gornjoj kritičkoj regiji.]

---

.footnote[[*] Sampling distribucija pod "alternativnom" hipotezom, za populacijski parametar `theta = 0.70`. Skoro cijela populacija leži u gornjoj kritičkoj regiji.]

---

.hi[Funkcija snage testa]

.footnote[[*] Vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze, prikazana kao funkcija od `theta.` Test ima veću snagu (veća vjerojatnost ispravnog odbacivanja nulte hipoteze) što je `theta` različitija od vrijednosti koju implicira nulta hipoteza (i.e., `theta=.5`). Kada je `theta = .5` (točka na grafikonu), nulta hipoteza je točna.]

---

.hi[Efekt veličine]
<br>
<br>

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">  </th>
   <th style="text-align:left;"> veliki_efekt </th>
   <th style="text-align:left;"> malen_efekt </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> značajno </td>
   <td style="text-align:left;"> razlika je stvarna i važna </td>
   <td style="text-align:left;"> razlika je stvarna ali nevažna </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> neznačajno </td>
   <td style="text-align:left;"> bez efekta </td>
   <td style="text-align:left;"> bez efekta </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

layout:false
class: middle, inverse
# DODATNI KONCEPTI
<html><div style='float:left'></div><hr color='#EB811B' size=1px width=796px></html>
(Razlike u shvaćanju testiranja hipoteza i Bayes-ov princip!)
---

layout:true
# DODATNI KONCEPTI
---

- Neyman vs. Fisher

- Bayesovo pravilo

$$
P(A | B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}
$$

- Bayes i nulta hipoteza

$$
P(H_0:točna | podatci:X) = \frac{P(podatci:X | H_0:točna) P(H_0:točna)}{P(podatci:X)}
$$

- *Posteriorni* omjer

$$
\frac{P( H_1:točna | podatci:X)}{P(H_0:točna | podatci:X)}
$$