PREGLED PREDAVANJA

CILJEVI

• Uzorak vs. Populacija
• Procjena prosjeka i standardne devijacije populacije
• Sampling distribucije
• Intervali pouzdanosti

UZORAK vs POPULACIJA

• Jednostavni slučajni uzorak
  
• Jednostavni slučajni uzorak sa zamjenom i bez zamjene
  
• Da li je naš uzorak uistinu slučajan?!
  
• Koliko je bitno da imamo "slučajni uzorak"?
  
• Želimo naučiti nešto o populaciji no imamo samo uzorak!

UZORAK vs POPULACIJA

Stvori uzorak od 10.000 ljudi iz populacije sa prosječnim IQ od 100 i standardnom devijacijom 15

IQ <- rnorm(n = 10000, mean = 100, sd = 15) # Stvori seriju IQ bodova
IQ <- round(IQ) # IQ je cijeli broj
print(head(IQ),7) # Pogledaj podatke

#> [1] 100  96  87  87 132  84

mean(IQ)        # Provjeri prosjek

#> [1] 100.0675

sd(IQ)          # Provjeri standardnu devijaciju

#> [1] 15.09152

UZORAK vs POPULACIJA

Grafički prikaz populacije

    # plot
    x <- 60:140
    y <- dnorm(x,100,15)
    plot(x,
         y,
         lwd=3,
         type="l",
         col=ifelse(colour,emphCol,"black"),
         xlab="IQ Bodovi",
         ylab="Gustoća vjerojatnosti",
       frame.plot=FALSE,
         title = ""
    )

UZORAK vs POPULACIJA

Grafički prikaz populacije

[*]Grafikon prikazuje distribuciju IQ u populaciji.

UZORAK vs POPULACIJA

Grafički prikaz uzorka

    # funkcija za izradu grafikona
    plotSamples <- function( n ) {
        IQ <- rnorm(n, 100, 15)
        hist( IQ,
              breaks=seq(10,180,5),
              border="white",
              col=ifelse(colour,emphColLight,emphGrey),
                xlab="IQ Bodovi",
                ylab="Frekvencija",
                xlim=c(60,140),
                main=""
        )
        print( paste( "n=",n,"prosjek=",mean(IQ), "sd=",sd(IQ) ) ) # Prikaži deskriptivnu statistiku
    }

UZORAK vs POPULACIJA

Uzorci različite veličine (N=100)

# prikaži
    plotSamples(100)

#> [1] "n= 100 prosjek= 99.5589905523533 sd= 13.020429311092"

UZORAK vs POPULACIJA

Uzorci različite veličine (N=10.000)

# prikaži
    plotSamples(10000)

#> [1] "n= 10000 prosjek= 100.135021994701 sd= 15.0172217274223"

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Notacija i značenje

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Nepristranost prosjeka

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Pristranost standardne devijacije

• Kako povećavamo veličinu uzorka, standardna devijacija je sve manja! $$s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2$$

• Procjenu standardne devijacije populacije je potrebno korigirati: $$\hat\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2$$

• Procijenjena standardna devijacija populacije: $$\hat\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2}$$

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Pristranost standardne devijacije

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Još notacije...

SAMPLING DISTRIBUCIJE

Primjer: Deset ponavljanja IQ eksperimenta, svaki sa veličinom uzorka (N=5).

SAMPLING DISTRIBUCIJE

Funkcija za generiranje sampling distribucija

  width <- 4.5
    height <- 4.5
    # definiraj funkciju
    plotSamples <- function( n, N) {
        IQ <- rnorm(n, 100,15/sqrt(N))
        hist( IQ, breaks=seq(10,180,5), border="white", freq=FALSE,
            col=ifelse(colour,emphColLight,emphGrey),
            xlab="IQ Bodovi", ylab="", xlim=c(60,140),
            main=paste("Veličina uzorka =",N), axes=FALSE,
            font.main=1, ylim=c(0,.07)
        )
        axis(1)
    }
    # distribucija populacije
    x <- 60:140
    y <- dnorm(x,100,15)

SAMPLING DISTRIBUCIJE

    # prikaz različitih veličina uzoraka
    plotSamples(10000,1)
    lines(x,y,lwd=2,col="black",type="l")

[*]Svaki uzorak se satoji od samo jedne opservacije tako da je prosijek svakog uzorka samo IQ jedne osobe. Zbog toga je sampling distribucija prosjeka jednaka distribuciji IQ bodova.

SAMPLING DISTRIBUCIJE

[*]Kada povećamo uzorak, prosjek svakog uzorka konvergira prosjeku populacije znatno više nego u slučaju samo jedne osobe. Histogram je zbog toga malo uži nego u populaciji.

SAMPLING DISTRIBUCIJE

[*]Kod veličline uzoprka od 10 se može primijetiti da je distribucija prosjeka uzoraka centrirana blizu pravog prosjeka populacije.

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

• Zakon velikih brojeva
  
  
• Standardna devijacija sampling distribucije

$$\mbox{SEM} = \frac{\sigma}{ \sqrt{N} }$$

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

Grafički prikaz

.footnote[[*]Grafički prikaz teorema centralne tendencije. Grafikon pokazuje ne-standardnu distribuciju (populacije).

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

Grafički prikaz

[*]Grafički prikaz teorema centralne tendencije. Grafikoni prikazuju sampling distribuciju prosjeka za uzorke veličine 2,4 and 8, stvorenih na osnovi podataka iz ne-standardne distribucije (prethodni grafikon). Iako je originalna populacija ne-standardno distribuirana, sampling distribucija prosjeka konvergira standardnoj distribuciji.

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

Grafički prikaz (N=4)

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

Grafički prikaz (N=8)

INTERVALI POUZDANOSTI

Izračunaj 95% standardne distribucije

# percentili (2.5% i 97.5%) standardne distribucije
qnorm( p = c(.025, .975) )

#> [1] -1.959964  1.959964

INTERVALI POUZDANOSTI

Interval pouzdanosti za prosjek kada su parametri populacije poznati

$$\mu - \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right) \ \leq \ \bar{X}\ \leq \ \mu + \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right)$$

INTERVALI POUZDANOSTI

Intervali pouzdanosti za prosjek populacije

$$\bar{X} - \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right) \ \leq \ \mu \ \leq \ \bar{X} + \left( 1.96 \times \mbox{SEM}\right)$$

INTERVALI POUZDANOSTI

Standardni zapis

$$\mbox{CI}_{95} = \bar{X} \pm \left( 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right)$$

INTERVALI POUZDANOSTI

Kada prosjek i stdev nisu poznati, koristi se t distribucija

N <- 10000   # Veličina uzorka 10,000
qt( p = .975, df = N-1)   # Izračunaj 97.5th percentil t distribucije

#> [1] 1.960201

N <- 10  # Veličina uzorka 10
qt( p = .975, df = N-1)   # Izračunaj 97.5th percentil t distribucije

#> [1] 2.262157

INTERVALI POUZDANOSTI

Izračunaj interval pouzdanosti u R

# ciMean( x = afl$attendance )
#    2.5%    97.5% 
# 31597.32 32593.12

INTERVALI POUZDANOSTI

Grafički prikaži intervale pouzdanosti

load( file.path( "../Podatci/afl24.Rdata" ))  # Učitaj podatke
library( sciplot )     # Paketi za bargraph.CI() i lineplot.CI() funkicje
library( lsr )         # ciMean() funkcija

bargraph.CI( x.factor = year,             # Grupirajuća varijabla 
              response = attendance,      # Ciljana varijabla
              data = afl,                 # Podatci
              ci.fun = ciMean,             # Naziv funkcije za izračun CI
              xlab = "Godina",              
              ylab = "Prosječna posjećenost" 
 )

INTERVALI POUZDANOSTI

[*]Prosjeci i 95% interval pouzdanosti za posjećenost AFL utakmica`, prikazani za svaku godinu od 1987 do 2010.

INTERVALI POUZDANOSTI

Grafički prikaži intervale pouzdanosti

lineplot.CI( x.factor = year,            # Grupirajuća varijabla  
             response = attendance,      # Ciljana varijabla
             data = afl,                 # Podatci
             ci.fun = ciMean,             # Naziv funkcije za izračun CI
             xlab = "Godina",              
             ylab = "Prosječna posjećenost" 
)

INTERVALI POUZDANOSTI

Grafički prikaži intervale pouzdanosti

[*]Prosjeci i 95% interval pouzdanosti za posjećenost AFL utakmica`, prikazani za svaku godinu od 1987 do 2010.