Econometría II

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# **Econometría II**
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## **<br/> VAR**

### Carlos A. Yanes Guerra
### 2024-II

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# Preguntas de las sesiones anteriores?

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layout: true
# Modelos VAR

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### Justificación

### Para que sirve un VAR

- Como el pasado afecta el presente de las variables y si una variable puede ser útil para pronosticar otra (causalidad de Granger)

- Analizar las .hi-purple[relaciones dinámicas] basadas en **efectos contemporáneos** e .hi[impulsos respuesta]

- Pronósticos

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<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="pictures/vardi.png" alt="Figura 1: Estructura de Modelamiento" width="70%" />
<p class="caption">Figura 1: Estructura de Modelamiento</p>
</div>

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Considere un modelo bivariado `$(Y_{t}, X_{t})$` y de primer orden:

`$$Y_{t}= \beta_{10} - \beta_{11} X_{t} + \gamma_{11} Y_{t-1}+\gamma_{12} X_{t-1}+ \epsilon_{yt}$$`
`$$X_{t}= \beta_{20} - \beta_{21} Y_{t} + \gamma_{21} Y_{t-1}+\gamma_{22} X_{t-1}+ \epsilon_{xt}$$`

Donde

- Tanto X y Y son endógenas.
- Los términos de error del modelo `$(\epsilon_{yt}, \epsilon_{xt}) \sim \; R.B (0, \sigma^{2})$`.
- .hi[Habría] que estimar 10 términos (8 parámetros y dos desviaciones del error de cada variable .hi-purple[endogena]).

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### Modelo en forma estructural

`$$Y_{t}= \beta_{10} - \beta_{11} X_{t} + \gamma_{11} Y_{t-1}+\gamma_{12} X_{t-1}+ \epsilon_{yt}$$`
`$$X_{t}= \beta_{20} - \beta_{21} Y_{t} + \gamma_{21} Y_{t-1}+\gamma_{22} X_{t-1}+ \epsilon_{xt}$$`

Tenemos que:

- `$\beta_{11}$` es el .hi[efecto contemporáneo] de una unidad de cambio de `$X_t$` sobre `$Y_t$`
- `$\beta_{21}$` es el .hi[efecto contemporáneo] de una unidad de cambio de `$Y_t$`  sobre `$X_t$`
- `$\gamma_{12}$`  y `$\gamma_{12}$` son los .hi-purple[efectos de los rezagos] de `$Y_t$` y `$X_t$` sobre `$Y_t$` 
- `$\gamma_{21}$`  y `$\gamma_{22}$` son los .hi-purple[efectos de los rezagos] de `$Y_t$` y `$X_t$` sobre `$X_t$`

Si `$\beta_{11}$` no es cero, `$\varepsilon_{rt}$` tiene un efecto contemporáneo indirecto sobre `$Y_t$`. Es decir, un choque en `$X_t$` afecta a `$Y_t$`.

Las ecuaciones del sistema no se pueden estimar por .hi-purple[MCO] debido a la existencia de esos efectos contemporáneos `$\beta_{11}$` y `$\beta_{21}$` que generan .hi[endogeneidad] por doble causalidad, lo que lleva a tener .hi-purple[estimadores] **sesgados**.

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## VAR FORMA ESTRUCTURAL

`$$\underbrace{\begin{pmatrix}
1 & \beta_{12} \\ 
\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}}_{B}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_t\\ 
X_t
\end{pmatrix}}_{X_t}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
\beta_{10}\\ 
\beta_{20}
\end{pmatrix}}_{G_0}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12} \\ 
\gamma_{21} & \gamma_{22} 
\end{pmatrix}}_{G_1}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\ 
X_{t-1}
\end{pmatrix}}_{X_{t-1}}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\varepsilon_{yt}\\ 
\varepsilon_{xt}
\end{pmatrix}}_{\varepsilon_t}$$`

Desde luego podemos establecer un modelo .hi[estructural] de tal forma que:

`$$BX_t=G_0+G_1X_{t-1}+\varepsilon_{t}$$`

La forma estructural da para .hi-purple[10] parámetros, lo que es 8 coeficientes y dos varianzas de los errores `$\sigma_{\varepsilon y}$` y `$\sigma_{\varepsilon x}$`

Note que la diagonal de la matriz de covarianza es igual a (1), la razón es que se 
normalizó - *es un criterio que se impone*

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### Demostración de la parte de (normalización):

- Cuando se habla de .hi[identificación] del VAR se hace alusión a la imposición de .mono[restricciones] o .hi-red[condiciones] para poder estimar unos parámetros.

- Veamos esto con un ejemplo más *ilustrativo*, olvidemos por un momento que hablamos de VAR. Tenemos una ecuación cualquiera dada por:

`$$AX-BY=0$$`
- Tenemos en esta ocasión encontrar (2) parámetros (A y B).

`$$Y=\dfrac{AX}{B}$$`

- Si reducimos la expresión tendremos: `$C=\dfrac{A}{B}$`, pero eso nos da:

`$$Y=CX$$`

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- El problema de `$Y=CX$`, es que apenas hemos encontrado un .mono[parámetro] y es lo mismo que ocurre con los modelos **VAR**.

- Corresponde entonces establecer restricciones para poder estimarlo correctamente

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### Prueba VAR representación matricial (un parentesis):

`$$\begin{pmatrix}
1 & \beta_{12} \\ 
\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_t\\ 
X_t
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\times Y_t + \beta_{12}X_{t} \\ 
\beta_{21} Y_t + 1\times X_{t} 
\end{pmatrix} \longrightarrow \; \begin{align*}
Y_t &=- \beta_{12}X_t \\ 
X_t &=- \beta_{21}Y_t 
\end{align*}$$`

Desde luego tenemos para la siguiente parte:

`$$\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12} \\ 
\gamma_{21} & \gamma_{22} 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\ 
X_{t-1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\gamma_{11} Y_{t-1} + \gamma_{12}X_{t-1} \\ 
\gamma_{21} Y_{t-1} + \gamma_{22}X_{t-1} 
\end{pmatrix}$$`

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`$$\underbrace{B^{-1} B}_{I}X_t=\underbrace{B^{-1}G_0}_{A_0}+\underbrace{B^{-1}G_1}_{A_1} X_{t-1}+\underbrace{B^{-1}\varepsilon_{t}}_{e_t}$$`

De esta manera se obtiene una forma .hi[reducida] de tal forma que: `$X_t=A_0+A_1X_{t-1}+e_t$`, donde `$e_t$` es el error .hi-purple[reducido] y cumple con:

- `$E[e_t]=0$`
- `$E[e_t, e_t']=\Sigma$`

Lo que es: 
`$$\Sigma=\begin{pmatrix}
 \sigma_{y}^{2}&\sigma_{yx}^{2} \\ 
 \sigma_{yx}^{2}&\sigma_{x}^{2} 
\end{pmatrix}$$`

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La forma reducida del VAR `$X_t=A_0+A_1X_{t-1}+e_t$`, tambien puede verse como:

`$$X_t=\begin{Bmatrix}
Y_t\\ 
X_t
\end{Bmatrix},
A_0=\begin{Bmatrix}
a_{10}\\ 
a_{20}
\end{Bmatrix},
A_1=\begin{Bmatrix}
a_{11}&a_{12}\\ 
a_{21}&a_{22}
\end{Bmatrix},
e_t=\begin{Bmatrix}
e_y\\ 
e_x
\end{Bmatrix}$$`

Todas tamaño de `$n\times 1$` con exepción de `$A_1$`, que viene a ser `$n\times n$`. Lo anterior podemos expresarlo como:

`$$\begin{aligned}
Y_t=&a_{10}+a_{11}Y_{t-1}+a_{12}X_{t-1}+e_{yt}\\
X_t=&a_{20}+a_{21}Y_{t-1}+a_{22}X_{t-1}+e_{xt}
\end{aligned}$$`

De esta forma .hi[reducida], observe que no hay .hi-purple[efectos contemporáneos] directos tal como `$\beta_{11}$` y `$\beta_{21}$`, sin embargo no estan eliminados, estan dentro del residuo `$\color{red}{e_t}$`.

En esta forma, solo se cuentan .hi[9] parámetros: seis (6) coeficientes, una (1) covarianza y dos (2) varianzas respectivamente. Los errores en la forma .hi[reducida]
tienen relación los errores.

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Cuando se tiene la opción reducida del VAR, tenemos un resultado importante:

`$$e_t=B^{-1}\varepsilon_t$$`

- `$\varepsilon_t$` es el error de forma .hi-slate[estructural]
- `$e_t$` es el error de forma .hi-pink[reducida].

*Con la forma reducida si se puede vía MCO y ademas se pueden hacer los pronosticos*.

De esta forma .hi[reducida] no se modelan las relaciones .hi-slate[contemporáneas] entre variables, esto requiere de los modelos estructurales y de la identificación del VAR.

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# Identificación del VAR

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layout: true
# Identificación del VAR

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Cuando se habla de **identificación** del VAR se hace alusión a la imposición de *restricciones* o .hi-purple[condiciones] para poder estimar unos parámetros. Recuerque que habiamos hecho algo de:

`$$AX-BY=0$$`

Esa es una .hi[relación estructural] y queremos conocer cuanto valen A y B (2 parámetros).

Ahora se despeja `$Y$`, al hacerlo se puede hablar de obtener una forma reducida (esto ya es una forma funcional, más que una relación).

`$Y=AX/ B$` y ademas `$A/B=C$`, así la forma reducida queda `$Y=CX$`. Si se corriera una regresión, se podría hallar el parámetro C, es decir, un (1) parámetro.

Nuestro objetivo inicial era encontrar A y B (2 parámetros), pero con la forma reducida solo encontramos C (1 parámetro).

El problema anterior es el mismo que se presenta en VAR, no se pueden encontrar A y B (en forma estructural). Por ello debe ponerse una restricción o condición. Por ejemplo que `$B=1$`, Así `$A/B=C$`, `$A/1=C$`, `$A=B!$`

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- La .hi[identificación] del VAR permitirá revelar las relaciones entre las variables y su dinámica, de esto se trata.

- En el caso de la relación entre PIB `$(Y_t)$` y la Tasa de interés `$(X_t)$`, se sabe que los Bancos centrales modifican la .hi-orange[tasa de interés] ante los datos observados de PIB, de esta manera, si se reporta un dato de **crecimiento negativo** entonces se procede a bajar la tasa de interés. Ahora bien, esa reducción de la tasa de interés no afectará el PIB inmediatamente.

- Frente a lo anterior, por un lado se puede concluir que el **PIB** afecta contemporáneamente y con rezagos a la .hi-slate[tasa de interés].

Por otro lado, se entiende que solo los rezagos de la tasa de interés afectan al PIB, es decir no hay efecto contemporáneo.

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`$$\underbrace{\begin{pmatrix}
1 & \beta_{12} \\ 
\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}}_{B}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_t\\ 
X_t
\end{pmatrix}}_{X_t}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
\beta_{10}\\ 
\beta_{20}
\end{pmatrix}}_{G_0}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12} \\ 
\gamma_{21} & \gamma_{22} 
\end{pmatrix}}_{G_1}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\ 
X_{t-1}
\end{pmatrix}}_{X_{t-1}}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\varepsilon_{yt}\\ 
\varepsilon_{xt}
\end{pmatrix}}_{\varepsilon_t}$$`

Si implantamos una restricción en el efecto contemporáneo, entonces vamos a tener

`$$\underbrace{\begin{pmatrix}
1 & \color{red}{0} \\ 
\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}}_{B}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_t\\ 
X_t
\end{pmatrix}}_{X_t}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
\beta_{10}\\ 
\beta_{20}
\end{pmatrix}}_{G_0}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12} \\ 
\gamma_{21} & \gamma_{22} 
\end{pmatrix}}_{G_1}
\underbrace{\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\ 
X_{t-1}
\end{pmatrix}}_{X_{t-1}}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}
\varepsilon_{yt}\\ 
\varepsilon_{xt}
\end{pmatrix}}_{\varepsilon_t}$$`

---

Lo que ahora nos da un sistema de tal manera que:

`$$\begin{aligned}
Y_t=&\beta_{10}+\gamma_{11}Y_{t-1}+\gamma_{12}X_{t-1}+\varepsilon_{yt}\\
X_t=&\beta_{20}-\beta_{21}Y_t+\gamma_{21}Y_{t-1}+\gamma_{22}X_{t-1}+\varepsilon_{xt}
\end{aligned}$$`

Asi, que de forma estructural tendrá (9) parámetros, que es lo mismo con la forma .hi[reducida].

Es claro que una matriz con una restricción:

`$$B=\begin{pmatrix}1&\color{red}{0}\\
\beta_{21} & 1
\end{pmatrix}$$`

También cambiará la estructura de `$B^{-1}$` y por ende su forma reducida. La .hi[identificación] permite develar las relaciones entre variables y realizar las impulso respuestas y desde luego descomponer la varianza.

Premultiplicando vamos a tener ahora a:

`$$B^{-1}BX_t=B^{-1}G_0+B^{-1}G_1X_{t-1}+B^{-1}\varepsilon_t$$`

esto nos lleva a:

---

`$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
Y_{t}\\
X_{t}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
-\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta_{10}\\ 
\beta_{20}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
-\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12}\\ 
\gamma_{21} & \gamma_{22} 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\
X_{t-1}
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
-\beta_{21} & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\varepsilon_{yt} \\ 
\varepsilon_{xt}  
\end{pmatrix}
\end{equation}$$`

Desde luego simplificando lo anterior -esto es resolviendo cada fila con columna-

`$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
Y_{t}\\
X_{t}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\beta_{10}  \\ 
-\beta_{21} \beta_{10}+ \beta_{20}  
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \gamma_{12} \\ 
-\beta_{21} \gamma_{11}+ \gamma_{21}  & -\beta_{21} \gamma_{12}+ \gamma_{22}  
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_{t-1}\\
X_{t-1}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{yt} \\ 
-\beta_{21}\varepsilon_{yt}+\varepsilon_{xt}  
\end{pmatrix}
\end{equation}$$`

Ademas que `$e_t$` cambia su forma y esto se traduce en:

`$$\begin{aligned}
e_{xt}=&-\beta_{21}e_{yt}+ \varepsilon_{xt}\\
e_{xt}+&\beta_{21}e_{yt}= \varepsilon_{xt}
\end{aligned}$$`

La relación anterior es clave, pues está mostrando que por medio de una combinación lineal de .hi[choques o errores] de la forma .hi[reducida] `$(e_{xt}\;y \; e_{yt})$`  y el efecto contemporáneo `$\beta_{21}$`, se recuperan los choques estructurales de la tasa de interés `$\varepsilon_{xt}$`.

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1. En un VAR estructural, el numero de elementos en la matriz `$B$` es `$n^2$`.

2. En un VAR reducido, en `$\Sigma$` (matriz de covarianza) incorpora efectos contemporaneos que viene a ser `$-\dfrac{n(n+1)}{2}$`

.hi[.mono[Por ejemplo]:] ¿cuantas restricciones se requieren para los siguientes VAR, uno con 3 variables y otro con 4?

.ex[Restricciones]: `$\dfrac{n^2-n}{2}=\dfrac{3^2-3}{2}=3$` y para el otro `$\frac{4^2-4}{2}=6$`

Al igual que ocurría con los modelos ARIMA, si su parte AR tiene .hi-purple[raíces invertibles] menor a 1, es decir se encuentran **dentro** del .hi-slate[circulo unitario], entonces el sistema es estacionario y estable.

En el caso de VAR, se dirá que si la matriz polinómica con operador de rezago A(L) es invertible, el VAR es .hi[estacionario] y .hi[estable].

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layout: false
class: inverse, middle, center

# Continuará...
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# Bibliografía

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name: adios
class: middle

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# **¡Gracias!**
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## Modelos VAR

### Seguimos aprendiendo
]

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