Econometría II

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# **Econometría II**
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## **<br/> ARCH y GARCH**

### Carlos A. Yanes Guerra
### 2024-II

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class: inverse, middle, center

# Preguntas de las sesiones anteriores?

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layout: true
# Modelo ARCH

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<cy-blockquote>
Por sus siglas hace referencia a **Autoregressive conditional heteroskedasticity**, modelos que involucran en una *estimación* comportamientos *volátiles* y que merecen ser tenidos en cuenta. La naturaleza de este tipo de series se encuentran en las .hi[financieras] y las .hi[macroeconómicas].
</cy-blockquote>

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Los modelos ARCH van en la medida al análisis de los retornos financieros que tienen las acciones o bonos públicos y privados.

### A tener en cuenta

`$$\sigma^{2}_{\epsilon}=\sigma^{2}_{1}=\sigma^{2}_{2}=\sigma^{2}_{3}$$`

`$$\begin{aligned}
Y_{t}=&\beta_{0} + \beta_{1}X_{t}+ \epsilon_{t}\\
\sigma^{2}_{t}=&Var (\epsilon_{t}|\epsilon_{t-\rho})\\ \sigma^{2}_{t}=& E(Y_{t}-\beta_{0}-\beta_{1}X_{t})
\end{aligned}$$`
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.attn[La idea:]

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### Aplicación

1. Tenemos a `$Y=f(x)\rightarrow y=\mu+\epsilon_t$`

```
#> 
#> Time series regression with "numeric" data:
#> Start = 1, End = 200
#> 
#> Call:
#> dynlm(formula = returns ~ 1, data = my_data)
#> 
#> Residuals:
#>      Min       1Q   Median       3Q      Max 
#> -0.77068 -0.13294  0.01089  0.13417  0.52646 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)  0.06701    0.01501   4.463 1.35e-05 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 0.2123 on 199 degrees of freedom
```

---

Luego ese `$\epsilon$` debe ser estimado con su rezago `$\epsilon_t^2=c+\phi_t\epsilon_{t-1}^2$`

```
#> 
#> Time series regression with "ts" data:
#> Start = 2, End = 200
#> 
#> Call:
#> dynlm(formula = errorbu ~ L(errorbu))
#> 
#> Residuals:
#>      Min       1Q   Median       3Q      Max 
#> -0.04587 -0.03935 -0.02649  0.00896  0.54832 
#> 
#> Coefficients:
#>              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)  0.045875   0.005896   7.781 3.96e-13 ***
#> L(errorbu)  -0.024090   0.071288  -0.338    0.736    
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 0.06973 on 197 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.0005793,	Adjusted R-squared:  -0.004494 
#> F-statistic: 0.1142 on 1 and 197 DF,  p-value: 0.7358
```

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```r
hest <- ts(2*model.ARCH$fitted.values^2)
plot.ts(hest)
```

---

```
#> 
#> 	Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 10
#> 
#> data:  Residuals
#> LM test = 1.7698, df = 10, p-value = 0.9978
```

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layout: false
class: inverse, middle, center

# Modelos Garch

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layout: true
# Modelo Garch

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**¿Qué significa esto?** En términos simples, imagina que estás estudiando el precio de una acción a lo largo del tiempo.  A veces el precio fluctúa mucho (alta volatilidad), y otras veces se mueve muy poco (baja volatilidad). Un modelo GARCH intenta capturar esta .hi[dinámica] no constante de la volatilidad.

### ¿Cómo funciona? 
Un modelo GARCH asume que la varianza (la medida de volatilidad) del retorno de una serie temporal depende tanto del .hi-turquoise[valor pasado] de la propia varianza como de los .hi[valores pasados del retorno].

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**Autoregresión:** La parte "autoregresiva" significa que el modelo utiliza información pasada para predecir futuros valores. En este caso, usa la varianza pasada para predecir la varianza futura.

**Heteroskedasticidad Condicional:**  La parte "heteroskedasticidad condicional" significa que la volatilidad no es constante a lo largo del tiempo. El modelo considera que la volatilidad depende de las condiciones actuales del mercado o la serie temporal.

.attn[Ejemplo:]

Si una acción ha tenido una gran fluctuación en el pasado (alta volatilidad), un modelo GARCH predeciría una mayor volatilidad para el futuro.  Al contrario, si la varianza ha sido .hi[baja] recientemente, se espera una volatilidad más baja en el futuro.

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### Aplicaciones:

Los modelos GARCH son muy útiles en finanzas para:

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`$$y_t = \mu + \epsilon_t$$`

Donde:
- `$y_t$` Es el valor observado de la serie temporal en el momento t.
- `$\mu$` Es la media de la serie temporal.
- `$\epsilon_t$` Es el término de error o residuo en el momento t.

`$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2$$`

Donde:
- `$\sigma^2_t$` Es la varianza de `$Y_t$` condicional.
- `$\omega$` Es un término constante positivo que representa la parte no autoregresiva de la volatilidad.
- `$\alpha_i \;y\; \beta_j$` Son los coeficientes de autoregresión de la varianza, donde i va desde 1 hasta p y j desde 1 hasta q.

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### Aplicación

Usemos la misma serie, para ello entonces vinculamos:

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### Aplicación

Miramos su función de autocorrelación parcial

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### Aplicación

Ahora corresponde al cuadrado

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### Aplicación

Lo mismo con la parcial

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Estimamos un GARCH (1,1)

```
#> 
#> Title:
#>  GARCH Modelling 
#> 
#> Call:
#>  garchFit(formula = ~1 + garch(1, 1), data = my_data, trace = F) 
#> 
#> Mean and Variance Equation:
#>  data ~ 1 + garch(1, 1)
#> <environment: 0x14d4ef660>
#>  [data = my_data]
#> 
#> Conditional Distribution:
#>  norm 
#> 
#> Coefficient(s):
#>        mu      omega     alpha1      beta1  
#> 0.0633792  0.0036886  0.0245229  0.8935926  
#> 
#> Std. Errors:
#>  based on Hessian 
#> 
#> Error Analysis:
#>         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
#> mu      0.063379    0.015625    4.056 4.99e-05 ***
#> omega   0.003689    0.004460    0.827    0.408    
#> alpha1  0.024523    0.038039    0.645    0.519    
#> beta1   0.893593    0.112862    7.918 2.44e-15 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Log Likelihood:
#>  26.89395    normalized:  0.1344697 
#> 
#> Description:
#>  Thu Sep 26 21:53:15 2024 by user:  
#> 
#> 
#> Standardised Residuals Tests:
#>                                 Statistic    p-Value
#>  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  6.8769440 0.03211372
#>  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9893232 0.14207152
#>  Ljung-Box Test     R    Q(10)  5.1002098 0.88438408
#>  Ljung-Box Test     R    Q(15)  5.8370269 0.98235711
#>  Ljung-Box Test     R    Q(20)  9.0984656 0.98173848
#>  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  1.6244320 0.99849270
#>  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  5.3490618 0.98873566
#>  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  7.2160475 0.99591400
#>  LM Arch Test       R    TR^2   4.4033390 0.97501072
#> 
#> Information Criterion Statistics:
#>        AIC        BIC        SIC       HQIC 
#> -0.2289395 -0.1629731 -0.2297188 -0.2022439
```

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layout: false
# Bibliografía

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name: adios
class: middle

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# **¡Gracias!**
<br/>
## Modelos ARCH

### Seguimos aprendiendo
]

.pull-right[
.right[
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