name: xaringan-title class: inverse, left, bottom background-image: url(pictures/picuniform.jpg) background-size: cover # **Econometría II** ---- ## **<br/> Introducción II** ### Carlos A. Yanes Guerra ### 2024-II --- layout: true # Series de tiempo --- -- ### Características --
En **series** tenemos un "orden" temporal. No es como los datos de .ul[sección cruzada] --
Tenemos entonces que alterar un poco los .hi[supuestos] de MCO ya que no vamos a tener una **muestra aleatoria** de individuos. --
Vamos ahora a encontrarnos con unas realización de un *proceso estocástico* (lo que se conoce como aleatorio). -- <cy-blockquote> Un modelo estático no es mas que aquel que se conforma con: `$$Y_t=\beta_0+\beta_1 X_t+ \varepsilon_t$$`</cy-blockquote> --- -- ### Características --
Un modelo de .hi[rezagos distribuidos] (FDL), muestra una o mas variables que afectan a `\((Y_t)\)` con un .ul[rezago]: -- `$$Y_t=\phi_0+\phi_1 X_{t}+\phi_2 X_{t-1}+\phi_3 X_{t-2}+ \varepsilon_t$$` --
De forma mas general, un modelo de **rezagos finitos** de orden *p* que incluye *p* rezagos de la variable `\((X_t)\)`. -- + Podemos decir que `\(\phi_0\)` es la propensión de impacto que se refleja en un cambio inmediato de `\((Y_t)\)`. -- + Denotamos que `\((\phi_0+\phi_1+\phi_2+\dots+\phi_p)\)` refleja el cambio de .hi[largo plazo] de los cambios de `\((Y_t)\)` --- -- ### Supuestos del estimador para muestras finitas --
Nuestro modelo sigue siendo .ul[lineal] en parámetros. -- `$$Y_t=\beta_0 + \beta_1 X_{1t}+\cdots+\beta_k X_{tk}+ u_t$$` --
El supuesto de .hi[media condicional] de los residuos también se mantiene *p.e*: `\(E(u_t|X_t)=0, \quad t=1,2,3,4,\dots,n\)`. Acá se hace mas fuerte porque no queremos que en distintos periodos exista relación entre el *error* y las variables explicativas del modelo. -- Lo anterior se conoce como (X's) estrictamente exógenas (hasta en el tiempo). --
Nuestro/s control/es `\((X_t)\)` no son constantes y desde luego no hay perfecta .hi[colinealidad]. -- <center>.hi-turquoise[*Si los anteriores supuestos se cumplen, entonces estamos en condiciones de decir que nuestros parámetros son insesgados*]</center> --- -- ### Otros supuestos -- *Necesitamos otros mas* (repasando 😢) --
La varianza de los .ul[residuos] `\(Var(\varepsilon_t|X_t)=Var(\varepsilon_t)= 0\)`, debe ser constante en el tiempo y ademas *independiente* de los movimientos o cambios de `\(X_t\)`. --
Finalmente, la covarianza de los **residuos** es independiente en el tiempo, es decir, no existe .hi[correlación serial] `\(corr(\varepsilon_t, \varepsilon_{j}|X_t)=0, \quad \text{para}\; t\neq j\)`. -- <center>.hi-turquoise[*Ahora bajo todos los 5 supuestos podemos argumentar que los estimadores de regresión de serie de tiempo son (BLUE)*]</center> --- layout: false class: inverse, middle # Componentes de una serie de tiempo 📈 --- layout: true # Componentes --- -- # Tendencia -- `$$Y_t= \color{#e64173}{T_t}+C_t+S_t+Irr_{t}$$` -- La .black[tendencia] nos dice hacia donde va la serie de tiempo. Si esta es positiva, la serie diremos que tiene tendencia creciente. -- .hi[que tanto?] -- Dependerá de su forma funcional. -- + Si tenemos dos series de tiempo `\(Y_t,X_t\)` no podemos decir que ambas tengan una relación causal si la **dirección** es la misma. Existen múltiples factores no observables que van contenidos en la .hi[tendencia] y por ende tenemos que eliminarla/tratarla, para que la relación sea ajustada a lo que podemos observar. --- -- ## Formas funcionales f(X) -- <table> <thead> <tr> <th style="text-align:left;"> Modelo </th> <th style="text-align:left;"> Significado </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Lineal <br> \(Y_t = \delta_0 + \delta_1 T_t + u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo lineal de tendencia </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Lineal - orden =2 <br> \(Y_t = \delta_0 + \delta_1 T_t +\delta_2 T_t^2+ u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo lineal pero con polinomio de orden 2 </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Lineal - orden \(=\rho\) <br> \(Y_t = \delta_0 + \delta_1 T_t +\dots+\delta_\rho T_t^\rho+ u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo Lineal pero con polinomio de orden \(\rho\) </td> </tr> </tbody> </table> --- -- <img src="Clase02_files/figure-html/graptendens-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- -- ## Otras formas (menos convencionales) <table> <thead> <tr> <th style="text-align:left;"> Modelo </th> <th style="text-align:left;"> Significado </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Logaritmico <br> \(Y_t = \delta_0 + \delta_1 Log(T_t) + u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo logaritmico en Tendencia </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Doble logaritmo <br> \(Log(Y_t) = \delta_0 + \delta_1 Log(T_t)+ u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo logaritmico en Tendencia y serie </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Exponencial <br> \(Y_t=e^{\delta_0 + \delta_1 LogT_t+ u_t}\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo Exponencial en T </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Reciproco en \(T_t\) <br> \(Y_t = \delta_0 + \delta_1 \frac{1}{T_t}+ u_t\) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo reciproco (inverso) en tendencia </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Box-Cox I <br> \( Y_t^{\theta} = \delta_0 + \delta_1 T_t^{\lambda} + u_t \) </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo restringido I cuando \(\lambda=\theta \neq 0\) </td> </tr> <tr> <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-style: italic;color: black !important;vertical-align:top;"> Box-Cox II </td> <td style="text-align:left;font-style: italic;color: black !important;"> Modelo restringido II cuando \(\lambda \neq \theta \neq 0\) </td> </tr> </tbody> </table> --- -- ## Modelo Box Cox -- Hay que tener cuidado con él. Tiene algo espectacular y es que puede asumir las otras formas .hi[funcionales]. -- Dependerá de los valores óptimos de `\(\lambda\)` y `\(\theta\)`. -- Note adicional que entonces hay que encontrar los valores específicos de esos .hi-orange[parámetros]. -- `$$\begin{equation*} Y_{t}^{\theta}= C_{0}+ \delta_{t} T_{t}^{\lambda}+ u_{t} \end{equation*}$$` Donde: `$$\begin{equation*} Y_{t}^{\theta}= \dfrac{Y_{t}^{\theta}-1}{\theta} \qquad T_{t}^{\lambda}= \dfrac{T_{t}^{\lambda}-1}{\lambda} \end{equation*}$$` --- -- <img src="Clase02_files/figure-html/graptendens23-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- -- # Ciclo -- `$$Y_t= T_t+\color{#e64173}{C_t}+S_t+Irr_{t}$$` -- El .black[ciclo] nos dice la evolución de la serie. Recordemos que en economía ciclos positivos van en **auge** o negativos si estos son o van en **recesión**. Una de las tantas formas naturales de expresarlo es: -- `$$Y_t= 2\; \text{cos}\;\left(2\pi \frac{t+15}{50}\right)$$` -- `$$Y_t= 2\; \text{cos}\;\left(2\pi \frac{t+15}{50}\right)+ \epsilon_t$$` -- La parte de `\(\epsilon_t\)` que tiene que ver con el "ruido", puede impactar en la serie de acuerdo al nivel de varianza `\(var(\epsilon_t)\)` que esta contenga. Involucramos a `\((\pi)\)` por el radio y a `\((t)\)` como referencia a la tendencia de la serie. *p.e:* `\(t\in \{1,\dots,n\}\)`. --- <img src="Clase02_files/figure-html/grapciclo-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- -- <img src="Clase02_files/figure-html/grapciclo2-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Estacionalidad (Seasonality) -- El componente **Estacional** corresponde a los .hi[movimientos] de una variable sucedidos reiteradamente durante una frecuencia *homogénea* de .b[**tiempo**]. Para las series de tiempo siempre se presenta cuando existe una periodicidad diaria, semanal, mensual, trimestral o semestral. Este .ul[elemento] se caracterizada por aparecer en un periodo y desvanecerse en el siguiente. -- `$$Y_t= T_t+C_t+\color{#e64173}{S_t}+Irr_{t}$$` --- -- <img src="Clase02_files/figure-html/grapseasonal-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- -- En
Se puede hacer directamente con el comando de `decompose` del paquete .hi-blue[XTS]. -- ```r # library(xts) Es requerida!! x = window(hor, start=2002) plot(decompose(x)) ``` <img src="Clase02_files/figure-html/grapseasonal2-1.svg" width="50%" style="display: block; margin: auto;" /> --- -- # Irregular -- El componente irregular hace referencia a `\((\varepsilon_t)\)` conocido anteriormente como residuo de la regresión. Toda serie de tiempo lo tiene, ahonda todo lo que incide en el .hi[comportamiento] de ella, pero es inobservable. -- <ry-blockquote> Es un componente .ul[impredecible], hace parte de factores de corto plazo (coyunturales), no recurrentes que de cierta manera afectan el comportamiento de la serie. </ry-blockquote> --- -- <img src="Clase02_files/figure-html/redsit-1.svg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- layout:false # Bibliografía
Chatfield, C. (2000). *Time-series forecasting*. CRC press.
Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021). *Forecasting: principles and practice*, 3rd edition, OTexts: Melbourne, Australia.
Righetti, N., (2022). *Time Series Analysis With R*. Bookdown.
Shumway, R., & Stoffer, D. (2019). *Time series: a data analysis approach using R*. CRC Press. --- name: adios class: middle .pull-left[ # **¡Gracias!** <br/> ## Componentes ### Seguimos aprendiendo ] .pull-right[ .right[ <img style="border-radius: 50%;" src="https://avatars.githubusercontent.com/u/39503983?v=4" width="150px" />
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