Econometría II: ETS

Departamento de Economía

Carlos A. Yanes G.

2024-03-12

Paquetes con que se trabaja la sesión

Los paquetes que vamos a utilizar en la sesión de hoy son:

Note

Para trabajar en esta ocasión vamos a usar los paquetes de :

library(pacman)
p_load(readxl, TSstudio, tidyverse, stats, urca, forecast, ggfortify, ggplot2, tseries, fpp2))

Preambulo

ETS

  • Regresamos por un momento a los modelos de suavizado exponencial.

  • Miramos entonces la aplicación de los modelos de tipo espacio- estado

  • Son modelos que terminan siendo una combinación entre paramétricos y aquellos que no lo son, es algo como un método tipo (“fusión”).

  • Son algoritmos que también minimizan la composición del RMSE de cada modelo que se estima y combina varios estamentos

Concepto técnico

Note

La familia de modelos ETS se definen como métodos y parámetros para los componentes (error, tendencia y estacionalidad) en una serie de tiempo, por eso se les conoce como ETS. Si se especifica más de un método dentro de la función, ETS considerará todas las combinaciones de los modelos especificados y seleccionará el modelo que mejor se ajuste a los datos (minimizando AICc).

Especificación

Tabla de Componentes
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (N,N) (N,A) (N,M)
A (A,N) (A,A) (A,M)
\(A_d\) (\(A_d\),N) (\(A_d\),A) (\(A_d\),M)

Significado

  • (N, N): Hace referencia a un modelo de suavizado simple
  • (A, N): Referencia a un modelo Holt winters lineal
  • (\(A_d\), N): Referencia a un modelo de tendencia armónica
  • (A, A): Referencia a un modelo Holt winters aditivo
  • (A, M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo
  • (\(A_d\), M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo armónico

Especificación

  • Cada modelo tiene una ecuación o parte que se observa y también una parte que denominaremos transición, una para cada estado de (nivel, tendencia, y parte estacional), es decir, modelos en conformidad de espacio de estado.

  • Para este propósito vamos a suponer que tenemos dos modelos para cada método: uno con errores aditivos y otro con errores multiplicativos, es decir, en total mas o menos en conformidad da unos 18 modelos.

    • ETS(Error,Tendencia,Estacional):
      • Error \(=\{A,M\}\)
      • Tendencia \(=\{N,A,A_d\}\)
      • Estacional \(=\{N,A,M\}\).

Modelo ETS y SS (Space-State)

Métodos de suavizado exponencial: Los algoritmos devuelven previsiones puntuales.

Modelos Espacio-Estado:

  • Generan las mismas previsiones puntuales pero también pueden generar intervalos de previsión.
  • Un proceso estocástico (o aleatorio) de generación de datos que puede generar una distribución de previsión completa.
  • Permiten una selección “adecuada” del modelo.

Grupo de modelos aditivos

Tabla de Componentes Aditivos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (A,N,N) (A,N,A) (A,N,M)
A (A,A,N) (A,A,A) (A,A,M)
\(A_d\) (A,\(A_d\),N) (A,\(A_d\),A) (A,\(A_d\),M)

Grupo de modelos multiplicativos

Tabla de Componentes Multiplicativos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (M,N,N) (M,N,A) (M,N,M)
A (M,A,N) (M,A,A) (M,A,M)
\(A_d\) (M,\(A_d\),N) (M,\(A_d\),A) (M,\(A_d\),M)

Aplicando a los ETS lo SS

  • (A,N,N): Simple exponential smoothing con errores aditivos
  • (A,A,N): Método lineal de Holt Winters con errores aditivos
  • (M,A,M): Multiplicativo de Holt-Winters con errores multiplicativos

Aplicando a los ETS lo SS

Predicción

Este método incorpora la especificación mas sencilla y nos dice que:

\(Y_{t+h|t}=F_{t}\) que conoceremos como ecuación de pronostico.

\[F_t=\alpha y_t+ (1-\alpha)F_{t-1}\] Tenemos un error de pronostico y es:

\[e_t=y_t- y_{t|t-1}=y_t - F_{t-1}\] Y planteamos la corrección:

\[\begin{aligned} y_t&=F_{t-1}+ e_t\\ F_t&=F_{t-1}+ \alpha(y_t- F_{t-1})\\ &=F_{t-1}+ \alpha e_t \end{aligned}\]

Un ejemplo de ETS(A,N,N)

Ecuación de medida \(y_t=F_{t-1}+\epsilon_t\) Ecuación de estado \(F_t=F_{t-1}+ \alpha \epsilon_t\)

Donde \(\epsilon_t\sim (0, \sigma^2)\)

  • La innovación o simple fuerza del error
  • La ecuación de medida contiene la relación entre observaciones y estado
  • Hay que tener presente la ecuación de transición

Nuevamente lo práctico

Datos

Cartera comercial de bancos

ETS un paso a la vez

Code 
cartera %>% decompose()
$x
          Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
2016 367822.1 372017.9 371504.5 373540.2 378922.9 381252.9 384245.6 385870.2
2017 389852.2 393366.3 394979.5 397288.4 399964.5 403662.3 403451.3 404165.9
2018 410308.2 412205.1 414766.3 416397.9 419080.9 420973.1 420294.1 421235.2
2019 433608.6 438173.4 441902.2 444898.5 449547.2 451756.4 454250.3 458674.4
2020 472036.3 478144.4 496248.9 499381.2 500477.1 501224.8 497737.8 492528.9
2021 485300.9 489968.3 492815.4 496422.9 500597.8 505475.2 510043.2 515702.4
2022 544147.8 554838.4 563242.2 573378.8 582534.2 593664.9 601094.8 608790.9
2023 633633.3 637485.1 636143.1 638791.7 640048.1 644309.1 644511.0 646039.0
2024 646722.0                                                               
          Sep      Oct      Nov      Dec
2016 387285.4 388795.6 392844.9 393753.7
2017 407058.0 408665.0 411022.7 413309.0
2018 423279.1 428474.8 434026.8 437514.9
2019 464159.0 466107.9 472113.6 472288.1
2020 490861.8 489415.5 488959.8 487225.6
2021 522266.9 527621.2 537485.1 543515.2
2022 616944.7 624696.6 630909.7 636903.2
2023 648621.0 648701.0 650135.0 649298.0
2024                                    

$seasonal
             Jan         Feb         Mar         Apr         May         Jun
2016 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2017 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2018 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2019 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2020 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2021 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2022 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2023 -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
2024 -4255.41521                                                            
             Jul         Aug         Sep         Oct         Nov         Dec
2016   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2017   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2018   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2019   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2020   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2021   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2022   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2023   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083
2024                                                                        

$trend
          Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
2016       NA       NA       NA       NA       NA       NA 382405.9 384213.4
2017 393459.3 395021.9 396608.0 398259.8 399845.1 401417.3 403084.4 404721.7
2018 412485.4 413898.4 415285.5 416786.8 418570.7 420537.8 422517.2 424570.1
2019 436807.4 439782.2 443045.5 446316.9 449471.9 452507.7 455557.8 458824.4
2020 479737.5 482960.1 485483.3 487567.0 489240.1 490564.4 491739.5 492784.9
2021 493621.9 495100.2 497374.3 500274.7 503888.5 508255.8 513053.2 518208.0
2022 551163.8 558836.3 566659.9 574649.6 582587.2 590371.0 597990.7 605162.9
2023 630954.9 634315.9 637187.7 639507.8 641309.0 642626.5 643688.3       NA
2024       NA                                                               
          Sep      Oct      Nov      Dec
2016 386081.0 388048.6 389914.9 391725.3
2017 406331.1 407951.8 409544.5 411062.3
2018 426782.7 429100.9 431557.9 434109.9
2019 462754.3 467288.9 471681.0 475864.3
2020 493134.5 492868.2 492749.9 492932.1
2021 523845.4 529986.4 536606.9 543695.5
2022 611644.1 617407.1 622529.1 627035.7
2023       NA       NA       NA       NA
2024                                    

$random
             Jan         Feb         Mar         Apr         May         Jun
2016          NA          NA          NA          NA          NA          NA
2017   648.33067   655.69660 -1344.03822 -1364.47554  -865.16354   196.41257
2018  2078.21434   617.96904  -234.67963  -781.96604  -474.43962 -1613.31584
2019  1056.55614   702.45135  -858.84996 -1811.55715  -909.33922 -2799.93476
2020 -3445.73603 -2504.40899 11050.11872 11421.03720 10252.35553  8611.71368
2021 -4065.55514 -2820.54858 -4274.33272 -4244.91642 -4275.36065 -4829.21070
2022 -2760.64374 -1686.65045 -3133.16914 -1663.97652 -1037.59088  1245.29565
2023  6933.81583  5480.47310  -760.06698 -1109.16346 -2245.47954  -365.97853
2024          NA                                                            
             Jul         Aug         Sep         Oct         Nov         Dec
2016  1204.36845  1937.21462  1084.87913   649.89119  1168.14359   937.01572
2017  -268.42786  -275.47045   607.35362   616.08156  -283.74472  1155.32222
2018 -2858.43179 -3054.52236 -3623.17966  -723.25633   707.00471  2313.56770
2019 -1942.76176   130.33479  1285.14057 -1278.02800 -1329.37688 -4667.59442
2020  5362.99001    24.37202 -2392.19564 -3549.77086 -5552.06260 -6797.88605
2021 -3645.26263 -2225.25488 -1698.07740 -2462.30917  -883.67798 -1271.61870
2022  2468.71600  3908.30834  5181.06146  7192.37369  6618.69596  8776.17559
2023   187.36052          NA          NA          NA          NA          NA
2024                                                                        

$figure
 [1] -4255.41521 -2311.28760  -284.52768   393.11958   984.59777  2048.59707
 [7]   635.32082  -280.34614   119.54472    97.11696  1761.90887  1091.37083

$type
[1] "additive"

attr(,"class")
[1] "decomposed.ts"

Miramos el comportamiento de cada componente

Grafico de serie decompuesta

Code 
cartera %>% decompose() %>% plot()

Modelo ETS

Code 
ets(cartera)
ETS(M,A,A) 

Call:
 ets(y = cartera) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.134 
    gamma = 1e-04 

  Initial states:
    l = 369773.0738 
    b = 1821.2883 
    s = 1090.922 1760.852 97.6772 119.3276 -280.4271 635.827
           2048.042 983.9436 392.2811 -284.4908 -2310.13 -4253.824

  sigma:  0.0061

     AIC     AICc      BIC 
2010.555 2018.302 2054.325

Qué significa lo anterior

  • Un modelo Holt-Winters con errores multiplicativos.
  • Asuma por ende que \(\frac{y_t-(F_{t-1}+b_{t-1})}{(F_{t-1}-b_{t-1})}\)
  • La ecuación entonces es: \[\begin{aligned} y_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ e_t)\\ F_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ \alpha e_t)\\ b_t&=b_{t-1}+ \beta (F_{t-1}+b_{t-1})e_t \end{aligned}\]
  • Donde los parámetros \(\beta=\alpha \beta\) y \(e_t\sim (0, \sigma^2)\)
  • La ecuacion de AICc viene dada por: \[AICc= AIC+ \frac{2(k+1)(k+2)}{T-k}\]

Estimación manual

Code 
ets(cartera, model="AAA", damped=FALSE)
ETS(A,A,A) 

Call:
 ets(y = cartera, model = "AAA", damped = FALSE) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.134 
    gamma = 1e-04 

  Initial states:
    l = 369770.9752 
    b = 1797.9297 
    s = 1090.855 1761.501 97.3345 119.7127 -280.0605 635.3593
           2048.243 984.5147 392.8222 -284.6739 -2310.449 -4255.159

  sigma:  3123.228

     AIC     AICc      BIC 
2021.306 2029.053 2065.076

Mirando ajuste

Code 
cartera %>% ets() %>% accuracy()
                   ME     RMSE      MAE        MPE      MAPE       MASE
Training set 19.99144 2854.056 2069.477 0.01564362 0.4115259 0.05556551
                  ACF1
Training set 0.4699954
Code 
cartera %>% ets(model="AAA", damped=FALSE) %>% accuracy()
                   ME     RMSE     MAE        MPE      MAPE       MASE
Training set 21.80337 2854.042 2069.87 0.01611707 0.4116335 0.05557608
                  ACF1
Training set 0.4699746

El RMSE del modelo AAA es mejor que el de MAN, sin embargo, en el ME el error es mucho menor y es de considerar todos los criterios también.

Miremos los parámetros del modelo ETS

Code 
cartera %>% ets() %>% autoplot

Ahora el Pronostico

Code 
cartera %>% ets() %>% forecast() %>% autoplot

Ahora el Pronostico

Code 
bf<-cartera %>% ets() %>% forecast()
bf
         Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
Feb 2024       650746.7 645625.1 655868.3 642913.9 658579.5
Mar 2024       654852.9 647088.4 662617.5 642978.1 666727.8
Apr 2024       657611.3 647457.0 667765.5 642081.7 673140.8
May 2024       660284.3 647806.2 672762.4 641200.7 679368.0
Jun 2024       663429.1 648625.9 678232.4 640789.5 686068.8
Jul 2024       664098.2 646944.4 681252.0 637863.8 690332.7
Aug 2024       665263.1 645716.1 684810.1 635368.5 695157.6
Sep 2024       667743.9 645749.4 689738.3 634106.2 701381.5
Oct 2024       669803.1 645302.6 694303.6 632332.8 707273.4
Nov 2024       673547.3 646476.6 700618.1 632146.2 714948.5
Dec 2024       674958.5 645254.9 704662.1 629530.8 720386.3
Jan 2025       671695.3 639301.4 704089.2 622153.1 721237.5
Feb 2025       675719.9 640569.3 710870.6 621961.6 729478.3
Mar 2025       679826.2 641852.4 717800.0 621750.4 737902.0
Apr 2025       682584.5 641722.7 723446.4 620091.7 745077.3
May 2025       685257.6 641443.0 729072.2 618249.0 752266.2
Jun 2025       688402.4 641570.4 735234.4 616779.0 760025.8
Jul 2025       689071.5 639159.9 738983.0 612738.4 765404.6
Aug 2025       690236.3 637183.4 743289.3 609098.8 771373.8
Sep 2025       692717.1 636460.6 748973.7 606680.1 778754.1
Oct 2025       694776.4 635254.8 754297.9 603746.0 785806.7
Nov 2025       698520.6 635672.2 761369.0 602402.2 794639.0
Dec 2025       699931.8 633696.5 766167.0 598633.7 801229.9
Jan 2026       696668.5 626990.0 766347.0 590104.4 803232.6

Gracias por su atención!!

Universidad del Norte