Contexto:

En un estudio de rendimiento académico en tres diferentes métodos de estudio (A, B, C) para estudiantes de secundaria, se busca determinar si existe una diferencia significativa en los puntajes obtenidos en un examen final. Los estudiantes fueron asignados aleatoriamente a uno de los tres métodos y se registraron sus puntajes al final del período de estudio.

Hipótesis

\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3\\ H_A: \text{Al menos un grupo es diferente.}\\ \]

\(\mu_j\): Es la media de la población (grupo) \(j\).

Notación:

\[ x_{ij}: \text{valor de observación } i \text{ para tratamiento } j \\ n_j : \text{número de observaciones para el tratamiento } j \\ \bar{x}_j : \text{media de muestra para el tratamiento } j \\ s^2_j: \text{varianza de muestra para el tratamiento } j \\ s_j: \text{desviación estándar de muestra para el tratamiento } j \\ k: \text{Es el número de grupos.} \\ n_T: \text{Es el número total de datos.} \]

• Formulas de la media y la varianza de la muestra para cada grupo \(j\)

\[ \bar{x}_j = \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} x_{ij} \]

\[ s^2_j = \frac{1}{n_j - 1} \sum_{i=1}^{n_j} (x_{ij} - \bar{x}_j)^2 \]

• La media muestral general \[ \bar{\bar{x}} = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} \bar{x}_j \]

• El primer estimador de la varianza \(\sigma^2\) (entre grupos), se llama Cuadrado Medio de los tratamientos \[ CMT = \frac{1}{k - 1} \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{x}_j - \bar{\bar{x}})^2 \]

• El numerador de llama Suma de cuadrados de los tratamientos \[ SCT = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{x}_j - \bar{\bar{x}})^2 \]

• El segundo estimador de la varianza \(\sigma^2\) (dentro de los grupos), se llama Cuadrado medio debido al error (MSE en inglés).

\[ MSE_{\text{error}} = \frac{1}{n_T - k} \sum_{j=1}^{k} (n_j - 1) s^2_j \] - El numerados se llama Suma de cuadrados debido al error \[ SCE_{\text{error}} = \sum_{j=1}^{k} (n_j - 1) s^2_j \]

• El denominador son los grados de libertad \(n_T - k\):

La estadística de prueba para la igualdad de \(k\) medias poblacionales es:

\[ F = \frac{CMT}{MSE} \]

La estadística de prueba sigue una distribución F con \(k - 1\) grados de libertad en el numerador y \(n_T - k\) grados de libertad en el denominador.

REGLA DE RECHAZO

Donde el valor de \(F_\alpha\) se basa en una distribución F con \(k - 1\) grados de libertad en el numerador y \(n_T - k\) grados de libertad en el denominador.

Enfoque del valor p:

Rechazar \(H_0\) si el valor \(p\) es \(< \alpha\).

Enfoque del valor crítico:

Rechazar \(H_0\) si \(F > F_\alpha\).

\(\alpha\) es el nivel de significania de la prueba.

• Hacer el cómputo de la media y la varianza de la muestra para cada grupo \(j\).

• Hacer el cómputo de la media general de la muestra.

• Media grupo A

(58 + 64+ 55 + 66 + 67)/5

## [1] 62

• Media grupo B

(58 + 69 +  71 +  64 +  68)/5

## [1] 66

• Media grupo C

(48 +  57 +  59 +  47 +  49)/5

## [1] 52

• La media general de la muestra

(62 + 66 +52)/3

## [1] 60

• Hacer el cómputo de la Suma de cuadrados de los tratamientos \(SCT\).

• Hacer el cómputo de del Cuadrado Medio de los tratamientos \(CMT\)

• La \(SCT\):

5*(62 - 60)^2 + 5*(66 - 60)^2 + 5*(52 - 60)^2

## [1] 520

• El \(CMT\), dónde \(k=3\)

520/(3-1)

## [1] 260

• Hacer el cómputo de la varianza muestral para cada grupo \(j\).

• Hacer el cómputo de la Suma de cuadrados debido al error \(SCE_{\text{error}}\).

• Hacer el cómputo del Cuadrado medio debido al error (\(MSE\) en inglés).

• Varianza del grupo A (\(s^2_1\)):

((58 - 62) ^ 2 + (64 - 62) ^ 2 + (55 - 62) ^ 2 
 + (66 - 62) ^ 2 + (67 - 62) ^2)/(5-1)

## [1] 27.5

• Varianza del grupo B (\(s^2_2\)):

((58 - 66) ^ 2 + (69 - 66) ^ 2 + (71 - 66) ^ 2 
 + (64 - 66) ^ 2 + (68 - 66) ^2)/(5-1)

## [1] 26.5

• Varianza del grupo C (\(s^2_3\)):

((48 - 52) ^ 2 + (57 - 52) ^ 2 + (59 - 52) ^ 2 
 + (47 - 52) ^ 2 + (49 - 52) ^2)/(5-1)

## [1] 31

• El \(SCE_{\text{error}}\).

(5-1)*27.5 + (5-1)*26.5 + (5-1)*31

## [1] 340

• El \(MSE\).

340/(15-3)

## [1] 28.33333

El F-Statistic:

\[ F = \frac{CMT}{MSE} \]

260/28.33333

## [1] 9.176472

Los grados de libertad del numerador son \(k - 1 = 3 - 1 = 2\) y los grados de libertad del denominador son \(n_T - k = 15 - 3 = 12\).

La tabla completa:

• Encontrar los valores críticos para \(F(df_1=2, df_2=12)\).
• En R, para 90% de nivel de confianza

qf(1 - .10, 2, 12)

## [1] 2.806796

• En R, para 95% de nivel de confianza

qf(1 - .05, 2, 12)

## [1] 3.885294

• En R, para 99% de nivel de confianza

qf(1 - .01, 2, 12)

## [1] 6.926608

• En EXCEL, para 99% de nivel de confianza:

=DISTR.F.INV(.01,2,12)

CONCLUSIÓN

Se rechaza \(H_0\), debido a \(F(df_1=2, df_2=12)=6.92< 9.18\)

## Versión: 09/04/2024

• Smith, G. (2015). Essential statistics, regression, and econometrics.
  
  

• Stock, J. H., & Watson, M. W. (2020). Introduction to econometrics. Pearson.
  

• Anderson, Sweeney & Williams, (2010). Statistics for Business and Economics.