• En los temas [1-3] hemos estudiado técnicas para la estimación de parámetros.

• En los temas [1-3] técnicas para el cómputo de probabilidades.

• Pero es necesario determinar un tamaño de muestra adecuado para estimar con precisión nuestros parámetros.

¿Qué tipo de variable vamos a muestrear?

• Variables Continuas: Se miden (Tiempo, temperatura, velocidad…)

• Variables Discretas: Se cuentan (# hijos, # estudiantes, # maestros..)

• Estudios de observación: implican observar y medir individuos o grupos sin intervenir ni manipular variables. En los estudios observacionales, los investigadores simplemente observan lo que sucede naturalmente.

• Estudios experimentales implican la manipulación activa de variables y la evaluación de los efectos de esas manipulaciones. Los investigadores controlan y manipulan variables para establecer relaciones de causa y efecto.

Determinantes del rendimiento académico:

• Se recopila datos sobre horas de estudio.
• Asistencia a clases.
• Uso de recursos de aprendizaje.
• Evaluaciones del profesor.

Sin intervenir en los hábitos de estudio de los estudiantes.

Determinantes del rendimiento académico:

• Se asignan aleatoriamente a dos grupos de estudiantes.
• Se controlan las variables y la influencia externa.
• Un grupo usa una técnica de estudio específica(novedosa)
• Otro grupo sigue sus métodos habituales.
• Se mide y compara el rendimiento de ambos grupos.

Los estudios de observación:

• Son más comunes en las ciencias sociales.

• Tienden a tener más problemas de sesgo (selección, medición.

• Es más complicado establecer relaciones causa-efecto.

• Hay más abundancia de datos.

Los estudios experimentales (RCT):

• Tienden a tener más menos problemas de sesgo.

• Es más fácil establecer relaciones causa-efecto.

• Es más costoso recopilar datos.

• Pueden tener problemas éticos.

• No aplica para todas las variables.

• Relevancia y aplicabilidad en la vida práctica.

• Abundancia de datos.

• Menos costo y problemas éticos.

• Menos complejos.

• En el muestreo con reemplazo, cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado en cada extracción.

• Después de seleccionar un elemento, este se devuelve a la población antes de realizar la siguiente extracción.

• Este método permite que un elemento sea seleccionado más de una vez en la muestra.

• En el muestreo sin reemplazo, cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado en la primera extracción.

• Este método garantiza que cada elemento sea seleccionado exactamente una vez en la muestra.

• \(N<n\)

• En situaciones donde la reposición de los elementos no afecta significativamente los resultados.

• Para alcanzar mejores propiedades cuando la población es pequeña.

• \(N>n\)

• Garantizar que cada elemento sea seleccionado exactamente una vez en la muestra.

• La reposición de los elementos podría distorsionar los resultados.

• \(N/n\): Depende de cada estudio, requiere investigación.

El muestreo iid (independiente e idénticamente distribuido) es fundamental para aplicar correctamente la fórmula de tamaño de muestra. Las principales condiciones son:

1. Independencia: Las observaciones en la muestra deben ser independientes entre sí, es decir, el valor de una observación no está influenciado por el valor de otra.
2. Identidad de Distribución: Las observaciones deben tener la misma distribución de probabilidad.
3. Tamaño de Muestra Suficiente: El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande para garantizar que las estimaciones sean precisas y confiables.

Fórmula:

\[ n = \frac{{Z^2 \cdot \sigma^2}}{{E^2}} \]

Donde: - \(n\) es el tamaño de la muestra. - \(Z\) es el valor crítico de la distribución normal estándar, asociado con el nivel de confianza deseado. - \(\sigma\) es la desviación estándar de la población o su estimador. - \(E\) es el margen de error deseado (nivel de significancia \(\alpha\)). - Con o sin remplazo.

• Se quiere estimar la estatura media de los estudiantes de una universidad.
• Con un nivel de confianza del 90%.
• Supongamos también que la desviación estándar es de 8 centímetros.

Si el nivel de confianza del 90%, el

\[ E = \alpha = 1-.9 =.1 \]

Se busca en la tabla el valor crítico para 90%

\[ n = \frac{{(1.2815)^2 \cdot (8)^2}}{{(.1)^2}} \] Donde: \[ n = 10511.2 \sim 10512 \]

Para estudiar la imagen de los diferentes políticos, se pide a los encuestados que los evalúen en una escala (continúa) de 0 a 10 puntos. - Si la desviación típica de esta variable es de 1.5 puntos

¿Cuántos casos se necesitan para alcanzar un error máximo de 0.05 puntos?

• \(E\) es el error máximo deseado, que es de 0.05 puntos.
• El nivel de confianza \(1 - \alpha=0.95\) Entonces:

\[ n = \frac{{1.96^2 \cdot 1.5^2}}{{0.05^2}} \]

Donde: \[ n = 2434.99 \sim 2435 \]

• Cuando la proporción de una variable categórica (\(X\)) es conocida:

\[ n = \frac{{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}}{{E^2}} \]

Donde: - \(n\) es el Tamaño de muestra necesario.

• \(p\) es la proporción estimada (constante).

• \(Z\) es el valor crítico de la distribución normal.

• \(E\) es el margen de error deseado.

• \(X\) es binomial (éxito o fracaso).

• Con o sin remplazo.

• Se quiere estimar la proporción de hogares que poseen automóvil en una determinada ciudad.
• Si se estima que la proporción estimada de hogares con automóvil es del 60%. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar esta proporción con un margen de error máximo del 5% y un nivel de confianza del 95%.

Substituyendo:

\[ n = \frac{{1.96^2 \cdot 0.6 \cdot (1-0.6)}}{{0.05^2}} \]

La muestra:

\[ n = 260 \]

## [1] 259.7322

• Se quiere estimar la proporción de personas que tienen una cuenta bancaria
• Si se estima que la proporción estimada de personas con cuenta bancaria es del 40%. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para estimar esta proporción con un nivel de confianza del 90%?

Substituyendo:

\[ n = \frac{{1.2815^2 \cdot 0.4 \cdot (1-0.4)}}{{0.1^2}} \]

La muestra:

\[ n = 40 \]

## [1] 1.281552

## [1] 39.41699

Usando la fórmula: \[ n = \left(\frac{Z}{2E}\right)^2 \]

• \(Max(\sigma) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}=0.5\)

• Suele dar un tamaño de muestra mayor.

• Estimar el porcentaje de estudiantes universitarios que tienen una tablet con un margen de error máximo de 10% ¿Cuántos estudiantes se necesitan para esta muestra?

Calculamos el tamaño de muestra: \[ n = \left(\frac{1.2816}{2 \times 0.05}\right)^2 \] \[ n = 42 \]

• Se quiere estimar el porcentaje de hogares que tienen acceso a internet con un margen de error máximo de 5% ¿Cuántos hogares se necesitan para esta muestra?

Calculamos el tamaño de muestra: \[ n = \left(\frac{1.6448}{2 \times 0.05}\right)^2 \] \[ n = 271 \]

• Si se conoce el tamaño de la población.
• Si se muestrea sin remplazo. Entonces, se usa:

\[ n = \frac{N}{1+N(e)^2} \]

Se quiere estimar la proporción de personas que consumen pasta en una ciudad con una población de 500.000 habitantes, con un nivel de precisión del 5% y un nivel de confianza del 95%.

\[ n = \frac{500000}{1+500000(0.05)^2} \] \[ n = 400 \]

## [1] 399.6803

## [1] 400

## Versión: 07/02/2024

• Smith, G. (2015). Essential statistics, regression, and econometrics.
  
  

• Stock, J. H., & Watson, M. W. (2020). Introduction to econometrics. Pearson.
  

• Hernández-Sampieri, R., Fernández-Collado, C., & Baptista-Lucio, P. (2014). Metodología de la investigación (6a ed.). McGraw-Hill.

• Cochran’s sample size formula p variable meaning and intuition