• Si \(Z\) es el conjunto de \(n\) realizaciones independientes de una variable aleatoria \(X\)

• Con una distribución con desviación estándar finita y no nula.

• Entonces la distribución de los promedios de esas observaciones se aproxima a una distribución normal a medida que \(n\) aumenta.

• Un estimador puntual es el valor muestral de un parámetro poblacional.

1. Media Muestral \[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
2. Varianza Muestral \[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2\]
3. Desviación Estándar Muestral

\[s = \sqrt{s^2}\]

Supón que tienes datos de 10 días de la temperatura máxima en Mérida durante enero:

\(\begin{align*} &[32.21, 27.21, 25.83, 28.13, 33.89, \\ &\quad 26.01, 26.11, 28.73, 28.72, 33.89] \end{align*}\)

• Calcula un estimador puntual de la media, la varianza y la desviación estandar.

• Media \[ \overline{x} = \frac{1}{10} \left( 32.21 + 27.21 + \ldots + 28.72 + 33.89 \right) \]

Calculando el resultado:

\[ \overline{x} = \frac{290.73}{10} \]

\[ \overline{x} = 29.073 \]

• Varianza

\[\begin{align*} s^2 &= \frac{1}{9} \left( (32.21 - 29.07)^2 + (27.21 - 29.07)^2 + \right. \\ &\quad \left. \ldots + (33.89 - 29.07)^2 \right) \end{align*}\]

\[ s^2 = \frac{1}{9} \times 89.528 \]

\[ s^2 = 9.95 \]

• Desviación Estándar: \[ s = \sqrt{s^2} = 3.15 \]

• Ojo, la estimación puntual aproxima parámetros en base a una muestra.

• El valor esperado y su correspondiente varianza son medidas ponderadas.

• Las medidas ponderadas se consideran parámetros poblacionales.

• Usamos estimadores puntuales cuando se busca un único valor representativo de la muestra.

• Usamos medidas ponderas cuando se analiza la relación entre observaciones y probabilidades.

• Paso 1: Localizar el valor de \(\overline{x}\) alrededor de la media \(\mu\), redondear a 2 decimales.

\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]

• Paso 2: usar tablas de probabilidad para localizar el valor(es) \(Z\).

• Paso 3: Graficar la probabilidad.

• Paso 4: Calcular la probabilidad correspondiente.

Hay tres casos:

• Probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a un punto muestral.

\[P(X \geq x)\]

• Probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a un punto muestral.

\[P(X \leq X)\]

• Probabilidad de que \(X\) esté entre dos puntos muestrales.

\[P(x_1 \leq X \leq x_2 )\]

Supongamos que tenemos datos de 10 días de la temperatura máxima en Mérida durante enero:

\(\begin{align*} &[32.21, 27.21, 25.83, 28.13, 33.89, \\ &\quad 26.01, 26.11, 28.73, 28.72, 33.89] \end{align*}\)

• Calcula un estimador puntual de la media y de la desviación estándar.
• Estima la probabilidad de que la temperatura máxima en enero sea mayor o igual a 31 grados cent.

• Media puntual: \[ \overline{x} = 29.073 \]

• Desviación estándar puntual: \[ s = \sqrt{s^2} = 3.15 \]

• El z-score: \[ Z = \frac{31 - 29.073}{3.15/\sqrt{10}}=1.93 \]

\(P(X\geq 31)= P(Z > 1.93)= 0.0268 = 2.68\%\)

• Del ejercicio anterior estima la probabilidad de que la temperatura sea menor o igual a 33 grados.

\[P(X\leq 31)= P(Z < 1.93)\]

La probabilidad de que la temepratura sea menor a 31 grados:

\[P(X\leq 31)= P(Z < 1.93)= 1 - 0.0268 = 97.32\%\]

• Del ejercicio anterior estima la probabilidad de que la temperatura este entre 28 y 31 grados

\[P(28 \leq X \leq 31)= P(z_1 < Z < z_2)\]

• Calculamos el z-score de 28 grados:

\[ Z = \frac{28 - 29.073}{3.15/\sqrt{10}}=-1.08 \]

• Buscamos el valor de \(P(Z < -1.08)\)

• Menor a 28 grados, \(P(X \leq 28)\): \[P(Z < -1.08)= 0.1401 = 14.01\%\]
• Mayor a 31 grados \(P(X \geq 31)\):

\[P(Z > 1.93)= 0.0268 = 2.68\%\]

Ahora podemos calcular la probabilidad de que la temperatura este entre 28 y 31 grados:

\[P(28 \leq X \leq 31)= 1 - P(Z > 1.93) - P(Z < -1.08) \]

Sustituyendo: \[P(28 \leq X \leq 31)= 1 - 0.0268 - 0.1401=0.8331= 83.31 \%\]

Recordemos del ejercico anterior:

• Media puntual \[ \overline{x} = 29.073 \]

• Desviación estándar puntual: \[ s = \sqrt{s^2} = 3.15 \]

Calcula un intervalo de probabilidad del \(95\%\) para la media poblacional (\(\mu\)), utilizando la media de la muestra (\(\overline{X}\)).

Formula general para el cómputo de intervalos de confianza: \[\overline{X} \pm Z \times \frac{s}{\sqrt{n}}\]

• Substituyendo \[ [29.073 -1.96*0.996, 29.073+1.96*0.996] \]

• El intervalo de confianza del \(95\%\) de que la media este lo suficiente cerca de \(\mu\)

\[ [27.12, 31.03] \]

• Calcula un intervalo de probabilidad del \(99\%\) para la media poblacional (\(\mu\)), utilizando la media de la muestra (\(\overline{X}\)).

• Substituyendo \[ [29.073 -2.56*0.996, 29.073+2.56*0.996] \]

• El intervalo de confianza del \(99\%\) de que la media se encuentre lo suficiente cerca de \(\mu\) \[ [26.52, 31.62] \]

## Versión: 22/01/2024

• Smith, G. (2015). Essential statistics, regression, and econometrics.
  
  
• Stock, J. H., & Watson, M. W. (2020). Introduction to econometrics. Pearson.
  
  
• Ross, S. M. (2014). A first course in probability.
  
  
• Lipschutz, S. (2000). Schaum’s outline of probability. McGraw Hill Professional.
  
  
• https://espanol.libretexts.org/Estadisticas/