2024-01-17
-Evento(\(x, A, B\)): Un resultado o un conjunto de resultados particulares de una variable aleatoria .
-Espacio de probabilidad (\(S\)): El conjunto de todos los posibles resultados de una variable aleatoria.
-Probabilidad \(P\), Probabilidad \(P(E_n)=p\) de un evento en particular.
Axioma de la No Negatividad: \[ P(A) \geq 0 \quad \text{para todo evento } A. \]
Axioma de la Normalización (total): \[ P(S) = 1 \] Donde \(S\) es el espacio muestral.
Axioma de la Aditividad: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{si } A \cap B = \emptyset \] Esto se generaliza a más eventos mutuamente excluyentes.
\[ P(A \cup B) = P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Recuerda que, is \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes: \(P(A \cap B)=P(A \text{ y } B)=0\)
\[ P(A \cap B) = P(A \text{ y } B) = P(A)*P(B)\], cuando \(A\) y \(B\) son independientes.
Dos eventos independientes no es lo mismo que mutuamente excluyentes.
\(A\) and \(B\) son independientes si \(P(A \cap E) = P(A)\times P(B)\)
\(A\) and \(B\) son mutuamente excluyentes si \(P(A \cap E) = P(A)\times P(B)=0\)
La probabilidad de que ocurra un evento \(A\) una vez que ha ocurrido \(E\), o
La probabilidad condicional de \(A\) dado \(E\):
\[ P(A | E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} \]
Lanza un par de dados justos.
\(E = \{ \text{la suma es 6} \} = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}\)
y \(A = \{\text{2 en al menos un dado}\} = \{(2,4), (4,2)\}\),
Encuentra la probabilidad de que salga un 2 dado que la suma de los dados es 6 \(P(A | E)\).
\(E\) consta de cinco elementos y dos de ellos, (2,4) y (4,2), pertenecen a \(A\):
\(A \cap E = \{(2,4), (4,2)\}\). Entonces \(P(A | E) = 2/5\).
El valor esperado \(\mu = \sum_{i} X_i \cdot P[X_i]\)
El valor esperado no necesariamente es el valor más probable de X.
Sino el valor que se espera ver reflejado la media a largo plazo.
Supongamos que estás considerando invertir en acciones una cantidad fija y el rendimiento anual:
La fórmula del valor esperado sería:
\[E[X] = X_1 \cdot P(X_1) + X_2 \cdot P(X_2) + X_3 \cdot P(X_3)\]
Sustituyendo los valores:
\[E[X] =\mu = \$500 \cdot 0.3 + \$1000 \cdot 0.5 + \$0 \cdot 0.2 \]
\[ = \$150 + \$500 + \$0 = \$650\]
Supongamos que tienes un pequeño negocio y sabes que el número de clientes que llegan a tu tienda cada día sigue la siguiente distribución:
Calcula la varianza y la d.s del número de clientes que esperas atender cada día.
La fórmula de la varianza es:
\[ \text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i} (X_i - \mu)^2 P(X_i) \]
\[\text{sqr}(Var(X))\]
Donde \(X\) es la variable aleatoria (número de clientes),
\(\mu\) es la media
\(\sum_{i}\) es la suma sobre todos los posibles valores de \(X\).
Resolviendo:
Entonces, la varianza sería:
\[ \text{Var}(X) =\] \[ (0 - 5.5)^2 \cdot 0.3 + (5 - 5.5)^2 \cdot 0.5 + (15 - 5.5)^2 \cdot 0.2 \]
Realizando los cálculos:
\[ \text{Var}(X) = 6.25 \cdot 0.3 + 6.25 \cdot 0.5 + 156.25 \cdot 0.2\]
\[= 27.25 \]
\[\text{sqr}(Var(X))= 5.24\]
## [1] 5.220153
## [1] 19
## [1] 69
## [1] 8.306624
El número de exitos/fracasos en una serie de eventos independientes.
Número total de lanzamientos: \(n = 10\)
\(A:\) Número de caras deseadas \(k = 3\)
\(B:\) Número de caras deseadas \(k = 6\)
Probabilidad de éxito (cara): \(p = 0.5\)
\[ P(X=k \text{ de } n) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} p^k (1-p)^{n-k} \]
## [1] 0.2050781
Sustituyendo con los valores dados:
\[ P(A)=P(X=3 \text{ de } 10) = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} (0.5)^3 (1-0.5)^{10-3} \] \[ =0.11 \]
\[ S_A=\frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} \]
\[ P(B)=P(X=6 \text{ de } 10) = \frac{{10!}}{{6!(10-6)!}} (0.5)^6 (1-0.5)^{10-6} \] \[ =0.205 \]
El numero de eventos que ocurren en un periodo definido de tiempo.
En un partido de football, se meten en promedio 2.5 goles
¿Cuál es la prob. de que se metan 4?
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] Sustituyendo: \[ P(X = 4) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^4}{4!}=0.13 \]
## [1] 3.818985e-05
El numero de eventos que ocurren en un periodo definido de tiempo.
En un partido de football, se meten en promedio 2.5 goles
\(A:\) ¿Cuál es la prob. de que se metan 4?
\[ P(A)=P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] Sustituyendo: \[ P(X = 4) = \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^4}{4!}=0.13 \]
Distribución normal La función de densidad de probabilidad de la distribución normal: \[ f(x) = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Z-score El Z-score se calcula como: \[ Z = \frac{\overline{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]
Z-score: Cuántas veces la desviación estándar de la media muestral se aparta de la media poblacional.
\(\overline{x}\) es la media muestral.
\(\sigma/\sqrt{n}\) es la desviación estándar.
La diferencia entre la media de la muestra y la media poblacional se llama error de muestreo.
\[\overline{x}=\mu=112\]
\[\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{40} {\sqrt{50}}=5.66\]
2.Calcula un intervalo de confianza del 95% de la media de la muestra:
\[ \bar{X} \pm Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Y en el ejemplo: \[[112 -1.96*5.66, 112+1.96*5.66]\]
En un intervalo de confianza del 95%, hay una probabilidad del 95% de que la media de la muestra(\(\overline{X}\)) esté lo suficientemente cerca de la media poblacional (\(\mu\)).
Ojo: no es que el parámetro poblacional esté contenido en un intervalo de confianza específico.
Archivo con sus operaciones: 01_MAT2409_ID https://shorturl.at/bCKR4