• Describen la tendencia de los datos a agruparse alrededor de un punto medio.

• Intento de encontrar un solo valor para describir todas las cifras de una serie.

• Buscar un valor para representar todos los valores de una población.

• Presentar una característica destacada en un conjunto de datos.

• Facilitar la comparación.

• Conocer la muestra.

• Trazar relaciones matemáticas.

• Ayudar en la toma de decisiones.

• Definirse rígidamente.

• Basarse en todas las observaciones.

• Ser fácil de entender.

• Ser fácil de calcular.

• Ser menos afectado por los problemas de muestreo.

\[\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^{n} x_{i} \]

Explícitamente:

\[\overline{x} = \frac{1}{n} (x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n) \]

• El orden de los sumandos no altera la suma o total.

Supongamos que tenemos datos de 10 días de la temperatura máxima en Mérida durante enero:

\[\begin{align*} &[32.21, 27.21, 25.83, 28.13, 33.89, \\ &\quad 26.01, 26.11, 28.73, 28.72, 33.89] \end{align*}\]

¿Cuál es la media aritmética de los datos?

\[\overline{x} = \frac{1}{10} (32.21 + 27.21 + \dots + 28.72 + 33.89) \]

1/10*(32.21 + 27.21 + 25.83 + 28.13 
      + 33.89 + 26.01 + 26.11 + 
        28.73 + 28.72 + 33.89)

## [1] 29.073

¿Cuándo se utiliza?

• Cuando las observaciones tienen frecuencias.

• Cuando las observaciones tienen intervalos.

• Cuando las observaciones tienen probabilidad o proporción.

Calcular el centro del intervalo:

• Intervalo Par: \[ X_c = \frac{a + b}{2} \]

• Intervalo Impar: \[ X_c = a + \frac{b - a}{2} \]

Intervalo Par:

• \([a -b]\)

• \([20-29]\)

(20 + 29)/2

## [1] 24.5

\[ \overline{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Hay que multiplicar cada observación por su respectivo peso y sumar \[ \overline{x}_w = \frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \dots + w_{n-1} \cdot x_{n-1} + w_n \cdot x_n }{w_1 + w_2 + \dots + w_{n-1} + w_n } \]

En la calculadora, suma del producto ponderado:

(759.5 + 517.5 + 623 
  + 163.5 + 2709 + 3799.5 + 3633.5)

## [1] 12205.5

Entre la suma de los pesos:

(31 + 15 + 14 + 3 + 42 + 51 + 43)

## [1] 199

La media ponderada:

12205.5/ 199

## [1] 61.33417

• Es sensible a valores extremos.

(20 + 15 + 18 + 90)/4

## [1] 35.75

• No representa a la población en casos de falta de representación de la muestra (sesgo).
  • Selección: Cuando la muestra no se elige de manera aleatoria.
  • Respuesta: Cuando las respuestas en una encuesta no reflejan con precisión las variables (verdaderas opiniones).
  • Medición: Cuando hay errores en la captura de los datos, o el indicador no refleja la variable a medir.

• Un valor que no sea tan sensible a valores extremos.

• Un valor que tome en cuenta todos los datos de la serie.

• Por ejemplo: la multiplicación de toda la serie.

\[ ( x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n ) \]

• Sin embargo, el producto anterior está otra escala. \[ ( x \cdot x \cdot \ldots \cdot x_n )=x^n \]

• Para tomar en cuenta el tamaño de muestra, y regresar el valor a su escala original \[x=\sqrt[n]{x^n} \]

-\(n\)esima raiz: \[ \overline{x}_g = \sqrt[n]{\left( x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)} \]

-Como una potencia del inverso del tamaño muestral: \[ \overline{x}_g = \left( x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{\frac{1}{n}} \]

¿Por qué atenúa la presencia de valores extremos?

• Recordemos que

\[ (x_1 \cdot x_2)^\frac{1}{n}=x_1^\frac{1}{n} \cdot x_2^\frac{1}{n} \]

\[\ln(x_1^\frac{1}{n} \cdot x_2^\frac{1}{n})= \frac{1}{n} \cdot (\ln(x_1)+\ln(x_2)) \]

\[\exp(\ln(x_1)) = x_1 \]

• Para volver a la escala original \[x_1^\frac{1}{n} \cdot x_2^\frac{1}{n}=\exp(\frac{1}{n} \cdot(\ln(x_1)+\ln(x_2)) \]

• Entonces, la Media Geométrica, se puede expresar como una suma de logaritmos:

\[ \overline{x}_g = \exp(\frac{1}{n} \cdot(\ln(x_1)+\ln(x_2) + \dots +\ln(x_{n-1}) +\ln(x_{n})) \]

¿Por qué es importante esto?

• Los valores extremos van a tener menos peso en el cómputo de la media.

Una mejor representación de la tendencia central:

• Cuando hay valores extremos.

(20*15*18*90)^(1/4)

## [1] 26.40335

• Cuando hay mucha dispersión.

• Para calcular el promedio de tasas de crecimiento.

• Supongamos que queremos encontrar un valor que represente a una serie de datos.

• Por ejemplo, la altura de los hombres en la escuela, tienes 10 datos.

\[\begin{align*} &[1.6, 1.75, 0.68, 1.42, 1.74, \\ &\quad 1.28, 1.78, 1.89, 1.6, 2.02] \end{align*}\]

• Resultado

## [1] 1.519171

• No está definida para números negativos y cero.

• Calcula el promedio del crecimiento acumulado del PIB en México.

• Paso 1: Expresar las tasas de crecimiento como decimal \((\frac{\%}{100})\).
• Paso 2: Calcular los factores de crecimiento \((1 + \frac{\%}{100})\)

• Paso 3: Calcular la media geométrica \(\overline{x}_g\).
• Paso 4: Restar al resultado \(\overline{x}_g-1\) para estimar la tasa acumulada de crecimiento.

## [1] 0.01178093

## 
## Promedio Geométrico del PIB MX: 0.01

## Versión: 30/01/2024

• Business Mathematics.(2023).SBPD https://www.google.com.mx/books/edition/Business_Mathematics/oRLFEAAAQBAJ
• Smith, G. (2015). Essential statistics, regression, and econometrics.